Похідна вектор-функції

Нехай , .

Нехай вектор-функція визначена в деякому околі точки . Похідною векторної функції у точці називається границя відношення приросту функції до відповідного приросту аргументу, коли приріст аргументу наближається до 0: , якщо ця границя існує і скінченна за модулем.

Вектор-функція , яка має похідну в точці , називається диференційовною в точці t0 .

З означення границі вектор-функції випливає, що

, де , .

Отже, приріст диференційовної в точці вектор-функції можна подати у виді: .

Звідси випливає, що диференційовна в точці вектор-функція є неперервною в цій точці.

Обернене твердження, взагалі кажучи, не є правильним.

Диференціалом векторної функції називається головна частина приросту векторної функції: .

Властивості диференційовних вектор-функцій:

Теорема 4. Нехай векторні функції , , та скалярна функція f(t) визначені на та диференційовні в точці . Тоді в цій точці диференційовні сума та всі можливі добутки їх, причому: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. .

Для прикладу наведемо доведення твердження 4.

□ Позначимо , тоді

;

.

Скориставшись неперервністю вектор-функції , умовою диференційовності вектор-функцій , та теоремою 1, перейдемо до границі при в одержаному співвідношенні. В результаті матимемо:

..■

З теореми 4 випливають відповідні властивості диференціалів вектор-функцій. Наприклад:

Похідною другого порядку вектор-функції називається похідна вектор-функції : .

Аналогічно визначаються похідні вектор-функції вищих порядків.

Регулярною вектор-функцією класу називається вектор-функція, яка на області визначення має неперервні похідні до -го порядку включно. Вектор-функція класу =1 називається гладкою.

Позначення: – множина всіх векторних та скалярних функцій, які в кожній точці мають неперервні похідні до -го порядку включно.