1) Параметричні рівняння кривої в скалярній формі
Введемо в просторі прямокутну декартову систему координат. Нехай кожній точці відповідає число t. Цій точці на відповідає точка Р в просторі, . Тоді кожному відповідає точка Р,а їй відповідають три просторові координати , , – функції від t:
(1)
Рівняння (1) називаються параметричними рівняннями кривої (в скалярній формі).
Окремі криві, які однозначно проектуються на деякий відрізок осі ОХ, можна задати особливо просто: або .
2) Параметричне рівняння кривої у векторній формі
При певному виборі декартової системи координат у просторі трійка функцій (1) однозначно визначає вектор-функцію
. (2)
Рівняння (2) називається параметричним рівнянням кривої у векторній формі. Крива визначається як годограф вектор-функції .
Параметричне задання кривої називається параметризацією.
Параметризація називається природною, якщо за параметр t прийнято довжину дуги s, причому .
Крива називається регулярною класу (), якщо існує така її параметризація , що і . Регулярну криву класу називають гладкою кривою. Якщо , то криву називають аналітичною. |
Зауваження. Вимога існує в означенні регулярної кривої істотна.
|
|
Приклад. Розглянемо криву на площині:
, при .
Але це не означає, що крива не регулярна. Може статися, що існує краща параметризація цієї кривої.
Справді, візьмемо іншу параметризацію: .
для будь-якого .
Отже, крива регулярна.
Задача. Скласти параметричне рівняння гвинтової лінії – траєкторії руху точки, яка обертається навколо прямої з постійною кутовою швидкістю і одночасно переміщується в напрямі осі обертання зі сталою швидкістю .
Розв’язання. Приймемо вісь обертання за Oz і будемо вважати, що початкове положення рухомої точки М0 знаходиться на осі Ox.
В довільний момент часу відстань точки М від осі обертання стала, отже М рухається по прямому круговому циліндру (рис.7).
Нехай радіус циліндра а. Якщо t – час, то для кожної точки : . Отже: або
Відповідь:
3) Неявно задана просторова крива (як перетин двох поверхонь):
(3)
Застосовуючи теореми про неявні функції, можна показати, що рівняння (3) визначають регулярну елементарну криву в деякому околі її точки , якщо функції неперервні разом зі своїми частинними похідними в околі цієї точки і ранг матриці в цій точці дорівнює 2.