Геометрический и механический смысл производной. Методические указания

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 2.

Геометрический и механический смысл производной.

Цель работы: обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме геометрический и физический смысл производной.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Геометрический смысл производной

Если функция дифференцируема в точке , то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке, , равен значению производной функции при , т.е. . Уравнение этой касательной имеет вид: , где .

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

1. Обозначить буквой абсциссу точки касания.
2. Найти .
3. Найти и .
4. Подставить найденные числа , , в общее уравнение касательной .

Вычленяют типа задач: 1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым коэффициентом.

В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:

касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);
касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).

Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Точка является точкой касания, так как (рис.1)

1. – абсцисса точки касания.
2. .
3. , .
4. – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции , проходящих через точку .

Решение. Точка не является точкой касания, так как (рис. 2).

1. – абсцисса точки касания.
2. .
3. , .
4. – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку , следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

Если , то уравнение касательной имеет вид .

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);
касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции , параллельных прямой .

Решение.

1. – абсцисса точки касания.
2. .
3. , . Но, с другой стороны, (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение . Его корни (рис. 3).

4. 1) Если ; 2) ; 3) ; 4) ;

– уравнение касательной;

1) Если ; 2) 2) ; 3) ; 4) ;

– уравнение касательной;
Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей под углом к прямой (рис. 4).

Решение. Из условия найдем : .

1. – абсцисса точки касания.
2. .
3. .
4. .

– уравнение касательной.

Решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие три задачи.

1. Напишите уравнения касательных к параболе , если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. .
3. , .
4. – уравнение первой касательной.

Пусть – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения первой касательной имеем . Найдем . Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен .

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть есть точка касания второй прямой, тогда .

1. – абсцисса второй точки касания.
2. .
3. .
4.

– уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых .

2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций и .

Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).

1. Пусть – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции
2. .
3. .
4. – уравнение касательной.

1. Пусть – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции
2. .
3. .
4.

Так как касательные общие, то

Итак, и – общие касательные.

3. Задача, обратная к задаче 1, на нахождение функции по семейству ее касательных.

При каких и прямые и являются касательными к графику функции ?

Решение. Пусть – абсцисса точки касания прямой с параболой ; – абсцисса точки касания прямой с параболой . Тогда уравнение касательной примет вид , а уравнение касательной примет вид . Составим и решим систему уравнений

Ответ: .

Физический смысл первой и второй производной

Необходимость изучения мгновенной скорости изменения функции возникает во многих случаях. Например, скорость химической реакции, скорость испарения жидкости, скорость изменения длины стержня при изменении температуры и т.д.

Если функция описывает закон прямолинейного движения материальной точки, то первая производная пути по времени равна скорости движения, а вторая производная равна ускорению движения материальной точки в данный момент времени .