Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля сферы, бесконечной цилиндрической поверхности и нити, несущих равномерно распределенный заряд

Рассмотрим поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью . Это поле обладает центральной симметрией. Это означает, что направление вектора в любой точке проходит через центр сферы, а значение напряженности является функцией расстояния r от центра сферы (рис. 2.17). Найдем напряженность поля, созданную заряженной сферой в точках А и В. Через точки А и В проведем сферические поверхности и найдем поток вектора напряженности через эти поверхности.

Точка В находится внутри заряженной сферической поверхности, на расстоянии r от центра (r<R). Сферическая поверхность, проведенная через эту точку, не будет содержать внутри заряда. Следовательно, по теореме Гаусса , напряженность в точке В будет равна нулю. Е =0 (r<R) (рис. 2.17).Найдем напряженность поля, созданного заряженной сферической поверхностью в точке А, находящейся на расстоянии r от центра сферы. Окружим заряженное тело замкнутой сферической поверхностью, радиуса r, проходящей через точку А (рис. 2.17).

Для всех точек этой поверхности . Внутрь поверхности попадает весь заряд q, создающий рассматриваемое поле. Следовательно, (так как ).

Таким образом, напряженность поля в точках, расположенных на расстоянии r>R, равна

Поле вне заряженной сферической поверхности имеет такой же вид, как поле точечного заряда q, находящегося на расстоянии r от точки А. Если известна поверхностная плотность заряда σ, то , подставив в (8), получим

Рассчитаем напряженность поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром радиуса R, заряженным с поверхностной плотностью в точке А, отстоящей на расстояния r от оси цилиндра. Из соображений симметрии следует, что напряженность в любой точке направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а значение напряженности зависит лишь от расстояния r от цилиндра. Вырежем из бесконечно длинного цилиндра элемент длиной h. Окружим этот элемент цилиндрической поверхностью (коаксиальной с заряженной) радиуса r, так, чтобы эта поверхность проходила через точку А (рис. 2.15). Для оснований внешнего цилиндра , для боковой поверхности (заряд считаем положительным) . Силовые линии поля пересекают только боковую поверхность цилиндра радиуса r. Следовательно, поток вектора через эту замкнутую поверхность будет равен . Если внутрь поверхности попадает заряд , где –поверхностная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем:

, , откуда . (5)

Если , рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего . Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности поле отсутствует.