Применение теоремы Гаусса для расчета поля бесконечной равномерно заряженной плоскости

Будем считать заряд положительным. Плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью . Из симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости (рис. 2.10). Очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Выделим на заряженной плоскости площадку . Окружим эту площадку замкнутой поверхностью. В качестве замкнутой поверхности представим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости и основаниями величины , расположенными относительно плоскости симметрично. Применим к этой поверхности теорему Гаусса . Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, так как в каждой ее точке равна нулю. Для оснований совпадает с . Следовательно, суммарный поток через поверхность будет равен . Внутри поверхности заключен заряд . Согласно теореме Гаусса, должно выполняться условие: , откуда . (3)

Полученный результат не зависит от длины цилиндра, т.е. на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Картина линий напряженности выглядит, как показано на рис. 2.11. Для отрицательно заряженной плоскости направления векторов изменятся на обратные. Если плоскость конечных размеров, то полученный результат будет справедлив лишь для точек, расстояние которых от края пластины значительно превышает расстояние от самой пластинки (рис. 2.12).