Многочлен Лагранжа

Пусть исходная сеточная функция задана в (n+1)-й точках сетки , где — в общем случае неравноотстоящие узлы, определяемые шагами .

Воспользуемся сначала кусочным способом. Здесь и далее будем использовать обозначение .

Выделим "окно" или частичный отрезок , содержащий только две точки (шаблон ). Тогда многочлен Лагранжа, интерполирующий исходную функцию на данном шаблоне, имеет вид (где — коэффициенты)

(4.13)

Действительно, легко убедиться в том, что — алгебраический многочлен первой степени, который удовлетворяет условиям функциональной интерполяции (4.3), т.е. .

Выделим "окно" в виде двойного частичного отрезка c шаблоном . Тогда многочлен Лагранжа записывается в виде (где коэффициенты)

(4.14)

Легко проверить, что (4.14) — многочлен второй степени и также удовлетворяет условиям функциональной интерполяции:

Обобщив запись многочлена на "окно" для к -кратного частичного отрезка с шаблоном , можно записать многочлен Лагранжа в виде

(4.15)

где — коэффициенты Лагранжа, которые для внутренних точек шаблона записываются следующим образом:

(4.16)

Легко проверить, что удовлетворяют условию

(4.16)

Если положить , то приходим к глобальному способу решения задачи. Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа n-й степени имеет вид

(4.17)

где коэффициенты Лагранжа во внутренних точках отрезка записываются в форме

Очевидно, многочлен , заданный равенством (4.17), является многочленом степени и удовлетворяет функциональным условиям интерполяции (4.3): . Для записи интерполяционного многочлена Лагранжа удобно пользоваться табл. 4.1.