Постановка задачи

Методы функциональной интерполяции

Пусть на множестве задана сетка , определяемая точкой , а на сетке задана сеточная функция

В некоторых случаях является сеточным представлением заданной формульной функции . Сеточная функция может задаваться совокупностью пар: .

Требуется найти функцию , принимающую в точках те же значения, что и функция , то есть .

Точки называются узлами интерполяции, а искомая функция — интерполирующей.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую, проходящую через заданное множество точек (рис. 4.2).

Одной из целей задачи интерполяции является вычисление значения функции в произвольной точке . При этом различаются собственно интерполирование, когда точка и экстраполирование, когда .

Заметим, что можно провести бесчисленное множество "плавных" кривых, проходящих через заданное множество точек. Поэтому задача интерполяции в общей постановке не имеет единственного решения.

Если в качестве интерполирующей функции выбрать алгебраический многочлен, степень которого связана с числом заданных узлов интерполяции (на единицу меньше), решение задачи является единственным. Покажем это. Воспользуемся сначала кусочным способом. Выделим из отрезка частичный отрезок [x_i,x_{i+k}] и рассмотрим сеточную функцию , заданную в (k+1)-м узле (узлы не совпадают):

(4.7)

В качестве интерполирующей функции выберем алгебраический многочлен k-й степени (степень многочлена на единицу меньше количества узлов):

(4.8)

Будем искать неизвестные коэффициенты из условия интерполяции (4.3), т.е.

(4.9)

Теорема 4.1 (о единственности решения задачи интерполяции). Задача о нахождении интерполяционного многочлена , удовлетворяющего условиям (4.9), на частичном отрезке по заданной сеточной функции (4.7) имеет единственное решение.

Доказательство. Запишем условия интерполяции (4.9) с учетом (4.8) и обозначения

(4.10)

Эта система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов имеет единственное решение, так как определитель матрицы системы

(4.11)

не равен нулю (доказательство последнего факта содержится в курсе линейной алгебры, где этот определитель называется определителем Вандермонда). Следовательно, задача интерполяции также имеет единственное решение.

Полагая , приходим к глобальному способу решения поставленной задачи. А именно, если задана сеточная функция в (n+1)-м узле и требуется найти алгебраический многочлен с использованием условий интерполяции, то единственным решением задачи интерполяции является интерполяционный многочлен n-й степени: