Как отмечалось выше, выбор сетки и соответствующей степени интерполяционного многочлена при интерполяции сеточных функций является одной из важных задач, решить которую можно, рассмотрев проблему сходимости интерполяционных процессов [6,40] для непрерывных функций .
Будем считать, что интерполяция проводится на последовательности сеток
с возрастающим разбиением отрезка и т.д.
Если при данных разбиениях при возрастающем определяются значения в некоторой промежуточной точке , то реализуется интерполяционный процесс, характеризующийся последовательностью значений многочленов: .
Интерполяционный процесс для функции сходится в точке , если существует (поточечная сходимость).
Для отрезка существует понятие равномерной сходимости в некоторой норме, например max, .
Характер сходимости или расходимости интерполяционного процесса зависит как от гладкости и поведения функции , так и от выбора последовательности сеток . Так, показано, что если f(x) непрерывна на , то найдется такая последовательность , для которой интерполяционный процесс сходится равномерно на (теорема Марцинкевича). Однако для дискретных функций, рассматриваемых в данном разделе, эта теорема не применима. Отметим также, что построены расходящиеся интерполяционные процессы и для формульных функций, например и . Кроме того, применение многочленов высоких степеней приводит к так называемым "провалам" между узлами интерполяции, часто называемым осцилляциями. Указанные свойства интерполяционных процессов обусловливают нецелесообразность применения интерполяционных многочленов высоких степеней. В связи с этим в вычислительной практике для сеточных функций степень не берут выше и задание частичного отрезка согласуют с выбранной степенью многочлена.
|
|
Рассмотрим часто использующиеся на практике линейную и параболическую интерполяцию.