Погрешность интерполяции многочленами Лагранжа

При определении значения для функции с помощью многочлена Лагранжа возникает погрешность или остаточное слагаемое

Здесь предполагается, что используется глобальный способ интерполяции и что . Последнее предположение требуется для применения соответствующих теорем математического анализа, однако, приведенное ниже соотношение для может использоваться и для сеточных функций.

На основе указанных предположений доказано, что при интерполяции функции , заданной в общем случае на неравномерной сетке , интерполяционным многочленом Лагранжа для произвольного значения возникает погрешность

где — многочлен (n+1)-й степени, а . Поскольку точно найти нельзя (из-за неопределенности точки ), то при проведении вычислений обычно находятся только приближенные оценки погрешностей интерполяции, которые являются априорными.

Оценка погрешности интерполяции в некоторой произвольной фиксированной точке имеет вид, где

Оценка максимальной погрешности интерполяции в любой точке , т.е. на всем отрезке

Замечание. Для сеточных функций с фиксированными узлами сетки (узлами интерполяции) также можно проводить оценки погрешности по формулам (4.21), (4.22), однако для этого необходимо численно определять с помощью аппарата численного дифференцирования. При этом следует учитывать, что при вычислении производных высокого порядка возникают большие погрешности.

▼ Пример 4.2