Во всякой реальной колебательной системе обычно имеют место силы трения (сопротивления), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Сила трения выражается формулой:
где r – коэффициент трения, а знак минус указывает, что направление силы всегда противоположно скорости движения.
Если силы трения отсутствуют, формула (2.4) дает дифференциальное уравнение:
которое имеет, решение в виде:
где ω0 = . Колебания, происходящие при отсутствии сил трения, называются собственными или свободными. Частота собственных колебаний зависит только от свойств системы.
Допустим теперь, что в системе действуют две силы: FУПР и FТР. Уравнение движения тела будет иметь вид:
Разделим это уравнение на массу тела и обозначим: .
Тогда получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний, энергия которых уменьшается с течением времени:
Этому уравнению удовлетворяет функция: х = А0 е-dt Cos (wt + j0),
где Значит, сейчас уже частота колебания зависит от , и . Амплитуда колебания будет с течением времени изменяться по экспоненциальному закону . Величина , определяющая быстроту убывания амплитуды колебания с течением времени, называется коэффициентом затухания. Произведение коэффициента затухания на период колебания T, равное логарифму отношения двух соседних амплитуд:
|
|
; ; -,
есть безразмерная величина, и называется логарифмическим декрементом затухания. Колебания, происходящие в системе при наличии сил трения, называются затухающими. Частота этих колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь (с их увеличением частота уменьшается). Для получения незатухающих колебаний система должна подвергаться действию еще и внешней силы, непрерывно изменяющейся со временем по какому-нибудь закону. В частности, предположим, что внешняя сила является синусоидальной:
тогда уравнение движения тела будет иметь вид:
Разделим это уравнение на массу тела и к ранее принятым обозначениям добавим . В этом случае уравнение примет вид:
Уравнение характеризует уже вынужденные незатухающие колебания под действием внешней периодической силы. Решение этого уравнения имеет вид:
x = A Cos (ωt-φ),
где А – амплитуда колебания, φ – фаза, равная: φ = аrctg .
Амплитуда вынужденных колебаний системы:
где – угловая частота собственных колебаний системы; – угловая частота вынуждающей силы.
При вынужденных колебаниях имеет место явление резонанса, вызывающее резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении собственной угловой частоты колебаний и угловой частоты вынуждающей силы. Поскольку вынужденные колебания имеют широкое применение в технике, то явление резонанса должно всегда учитываться, ибо оно может быть полезным в отдельных процессах, а может быть и опасным явлением.
|
|
Важное место в машиностроении занимают вибрации (от лат. vibratio – колебание) – механические колебания упругих тел различной формы. Это понятие обычно применяется по отношению к механическим колебаниям деталей машин, конструкций и сооружений, рассматриваемых в инженерном деле.