Интеграл Бернулли

Интегрируем уравнение Эйлера при следующих допущениях:

1. Движение установившееся.

2. Массовые силы, действующие на жидкость имеют потенциал.

3. Жидкость баротропна, т.е.

При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями частиц. Поэтому, например, проекция перемещения частицы жидкости вдоль элементарной струйки за время равна

С целью интегрирований уравнений движения идеальной жидкости

Умножим на (Д) соответственно и сложим отдельно левы и правые части.

Левую часть, полученную в результате сложения, преобразуем так:

Заметим для дальнейших преобразований следующее:

Тогда левая часть будет иметь вид:

Так как движение установившееся, то давление не зависит от времени:

Так как массовые силы имеют потенциал, то

Если массовой силой является сила тяжести, то

В результате преобразованное выражение принимает вид:

В частности, для несжимаемой жидкости :

Производя формальное интегрирование последнего выражения получим:

т.е. сумма трех слагаемых в левой части последнего равенства (интеграла Бернулли) сохраняет постоянное значение вдоль элементарной струйки.

Если на данной элементарной струйке выбрать два сечения, то для них возможно записать:

(Y1)

Это равенство называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. (так как на сечение элементарной струйки не накладывается никаких ограничений, его возможно выбрать прямоугольным со сторонами