Производная сложной функции

1 2 3 4 5 6 7

Если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции вычисляется по формуле

(11.8)

Обобщенная таблица производных

где в частности:

где в частности,

Если для функции y = f (x) существует обратная функция x = j (y), которая имеет производную то верна формула

(11.9)

Пример 1. Найти производную функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Решение. 1) Функцию необходимо рассматривать как сложную функцию, где и – дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда, согласно формуле (11.8) и соответствующим формулам таблицы производных, получим:

2) Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (11.8) и обобщенную таблицу производных:

3)Рассмотрим функцию как где – также сложная функция. Применив формулу (11.8) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:

4) Пусть тогда Согласно формуле (11.8), получим:

5) Рассмотрим функцию как где

Функцию можно представить в виде где Тогда:

6) Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

Продифференцируем полученное выражение по формулам (11.3)–(11.5), (11.8) и соответствующим формулам таблицы производных:

Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим:

Пример 2. Вычислить если

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом Дифференцируем ее по формуле (11.8). При этом пользуемся первой формулой обобщенной таблицы производных при условии