И нормали. Физический смысл производной

Производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке

где – угол наклона касательной к оси Ox. В этом состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке где имеет вид:

(11.9)

Прямая, проходящая через точку графика функции перпендикулярно касательной, проведенной в этой точке, называется нормалью к графику функции в точке (рис. 11.1). Уравнение нормали имеет вид:

(11.10)

где

Рис. 11.1

Физические приложения производной

1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией то мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути S по времени t:

(11.11)

2. Если функцией описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени есть производная от скорости v по времени t:

(11.12)

3. Если – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T, то теплоемкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T:

4. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке есть производная от массы m по длине l:

5. Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т. е. производной от магнитного потока f по времени t:

6. Сила тока в колебательном контуре в момент времени t ₀ равна производной заряда q по времени t:

Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x = 2.

Решение. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (11.9). Сначала найдем ординату точки касания Для этого значение подставим в уравнение функции:

Для нахождения углового коэффициента найдем производную используя формулу дифференцирования дроби:

Найдем значение производной при

Подставив найденные значения в формулу (11.9), получаем уравнение касательной:

т. е.

Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (11.10):

Получим, что уравнение нормали, проведенной к заданной кривой в заданной точке, имеет вид

Пример 2. Определить, в какой точке кривой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°.

Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен значению производной в точке касания, найдем производную функции:

По условию Следовательно,

Отсюда:

Получили два значения абсциссы точки касания:

т. е. существуют две точки касания, в которых касательная образует угол 45° с осью Ох.

Найдем соответствующие ординаты точек касания, подставляя значения в формулу функции:

Приходим к ответу: в точках и касательная к заданной кривой образует с осью Ох угол 45°.

Пример 3. Найти острый угол между параболами и в точке их пересечения, имеющей отрицательную абсциссу.

Решение. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения – это угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке их пересечения. Тангенс этого угла вычислим по формуле

(11.13)

где k ₁ и k ₂ – угловые коэффициенты касательных, проведенных к параболам в заданной точке.

Найдем точку пересечения этих парабол. Для этого решим систему:

Отсюда Условию задачи удовлетворяет точка Найдем коэффициент k ₁:

Аналогично найдем k ₂:

Воспользуемся формулой (11.13) и получим:

откуда

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону

Найти скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.

Решение. Согласно формуле (11.11), скорость есть производная функции S (t), а, согласно формуле (11.12), ускорение а (t) есть производная скорости v (t).

Последовательно вычислим производные: