Основные правила дифференцирования

Производная функции

Понятие производной. Правила

Дифференцирования. Таблица производных

Пусть функция определена в точке и в некоторой ее окрестности, x – точка из рассматриваемой окрестности. Прира­щением аргументав точке называется величина приращением функции – величина Если выразить то

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.

Производную в точке обозначают По определению

(11.1)

или, что то же,

(11.2)

при условии, что пределы (11.1) и (11.2) существуют.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производная функции в точке – это число. Если функция дифференцируема на некотором множестве X из ее области определения, то также является функцией (ее обозначают также ).

Основные правила дифференцирования

Пусть – дифференцируемые функции. Справедливы формулы:

где (11.3)

где (11.4)

(11.5)

(11.6)

(11.7)

Таблица производных основных элементарных функций

где в частности:

где в частности,

где в частности

Пример 1. Найти производную функции в точке пользуясь определением, если:

1) 2)

Решение. 1) Используем определение производной в виде формулы (11.1):

Поскольку по условию то

2) По формуле (11.1) получаем:

Далее, применив тригонометрическую формулу

получим:

Так как при имеем и, применив формулу первого замечательного предела, получаем:

Поскольку по условию то

Пример 2. Вычислить производную функции пользуясь определением производной.

Решение. Пусть x – произвольная фиксированная точка из Пользуясь формулой (11.1), имеем:

Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции функцию

Пример 3. Найти производную функции:

1) 2) 3)

Решение. 1) Дифференцируем функцию и используем формулы (11.4), (11.5) и таблицу производных, получаем:

2) Дифференцируем функцию по формулам (11.3)–(11.6) и соответствующим формулам таблицы производных:

3) Дифференцируем функцию по формулам (11.7), (11.5), (11.3) и первой формуле таблицы производных:

Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных:

1) 2)

3)

Решение. 1) Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма:

Полученное выражение дифференцируем по формулам (11.4)–(11.6) и формулам таблицы производных:

2) Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

Дальше воспользуемся формулами (11.3)–(11.5) и таблицей производных:

3) Так как непосредственное дифференцирование вызывает значительные трудности, предварительно упростим выражение по формулам тригонометрии:

Полученное выражение дифференцируем по формуле (11.7) и соответствующим формулам таблицы производных: