Заняття 24

Тема 8.5. Екстремум ФБЗ.

ВПРАВИ

1. Знайти екстремум функції z(x,y).z=x²–y²+5y+4x, A(2;3), B(2,01;2,98).

Розв'язання. Стаціонарні точки функції z(x,y):

C(-2; 2,5)

Використовуючи достатню умову екстремума, визначаємо, чи є вона точкою екстремуму:

,

- визначник від’ємний, екстремуму функція z(x,y) не має.

2. Знайти найбiльшi i найменшi значення функцiї

Z=3x²+3y²-2x-2y+2 в трикутнику, обмеженому прямими

x=0; y=0; x+y-1=0.

Розв`язання.

1) Знайдемо стацiонарнi точки цiєї функцiї, для чого

знайдемо частиннi похiднi:

Прирiвнюємо їx до нуля: 6x-2=0;

6y-2=0;

Ця точка лежить в трикутнику.

Обчислимо значення функцiї в цiй точцi:

Дослiдимо функцiю на границях областi (cторонах три-

кутника).

На прямiй x=0 вираз для функцiї буде: z=3y²-2y+2.

Знаходимо

Ця точка лежить на сторонi трикутника i знаходимо зна-

чення функцiї

На прямiй y=0 вираз для функцiї буде:

z=3x²-2x+2.

Ця точка лежить на сторoнi трикутника, знаходимо

значення функцiї:

На прямiй x+y-1=0; y=1-x i вираз для функцiї буде:

z=3x²+3(1-x)²-2x-2(1-x)+2=3x²+3-6x+3x²-2x-2+2x+2=

= 6x²-6x+3.

Знаходимо

Точка лежить на сторонi трикутника, обчислимо

значення функцiї в цiй точцi:

Вершинами областi являються точки(0;0);(0;1);(1;0).

Обчислимо значення функцiї в вершинах областi:

z(0,0) = 2; z(0;1)=3 ^. 0+3 ^. 1²-2 ^. 0 –2 ^. 1+2=3.

z(1;0)=3 ^. 1²+3 ^. 0-2^.1-2 ^. 0+2=3.

Отже, найменше значення функцiя приймає в точцi

найбiльше значення в двох точках

z(0,1)=z(1,0)=3.

Вiдповiдь: найменше

Найбiльше