Розділ 8. Функції багатьох змінних (ФБЗ)

Тема 8.1. Границі ФБЗ в точці. Неперервність ФБЗ.

Дослідження границь ФБЗ в точках, дослідження на неперервність.

Тема 8.2. Частинні похідні. Диференціал, лінеаризація ФБЗ. Диференціювання складних та неявних ФБЗ. Інваріантність форми диференціала.

ВПРАВИ

1. Обчислити значення функцiї в точцi

A(2,98,4,03), замiнiючи прирicт цiєї функцiї її дифе-

ренцiалом.

Розв`язання:

Вiзьмемо x₀ = 3; y₀=4;

Обчислимо: z(x₀,y₀)=

Знайдемо:

Обчислимо частиннi похiднi в точцi A₀(3,4):

2. Використовуючи значення функції z(x,y) та її диференціала dz(x,y) в точці А, обчислити наближене значення z в точці В та оцінити похибку.

Розв’язання. а) Точне значення функції в точці В:

z(2,01;2,98) = 2,01²- 2,98² + 5×2,98 + 4×2,01 = 18,0997.

Наближене значення z в точці В обчислюємо по формулі

, де

,

,

,

.

Тоді

наближене значення функції.

Похибка: .

2. Знайти частинні похідні функції . .

Розв'язання.

=

= .

-

Відповідь: ; .