Заняття 23

Тема 8.3. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних.

Тема 8.4. Похідна ФБЗ в заданому напрямі, градієнт ФБЗ.

ВПРАВИ

1. За допомогою градієнта функції F(x,y,z) в точці С знайти:

а) похідну функції F(x,y,z) в точці С в напрямі точки D;

б) рівняння дотичної площини та нормалі в точці С до поверхні F(x,y,z)=0.

Розв’язання.

Градиєнт функции F в точці С має координати:

а) Похідна в точці С в напрямі точки D обчислюється за формулою

, де - одиничний вектор напряму , – скалярний добуток векторів.

= = .

; .

-відповідь

б) Дотична площина до поверхні F(x,y,z)=0 в точці (х₀,у₀,z₀) має рівняння

А(х-х₀ )+В(у-у₀)+С(z-z₀) = 0, де

В точці С або .

Канонічне рівняння нормалі :

або .

2. Знайти рiвняння дотичної площини i нор-

малi до поверхнi: x² +y²+z²=14 в точцi М(2,1,3).

Розв`язання

Тут: F(x,y,z)=x²+y²+z²-14.

Знайдемо

Обчислимо значення частинних похiдних в точцi

M(2,1,3)

Рiвняння дотичної площини

Пiдставляючи значення похiдних, маємо:

4(x-2)+2(y-1)+6(z-3)=0;

4x-8+2y-2+6z-18=0

4x+2y+6z-28=0, або 2x+y+3z-14=0.

Рiвняння нормалi до поверхнi:

Пiдставляючи значення похiдних:

або

Вiдповiдь: 2х+y+3-14=0;

3. Знайти рiвняння дотичної площини i нор-

малi до поверхнi z=5x²+3xy+y² в точцi М₀(1,2,8).

Розв`язання.

Знайдемо частиннi похiднi.

Обчислимо частиннi похiднi в точцi М₀(1,2,8).

Рiвняння дотичної площини

Пiдставляючи значення похiдних, одержимо:

z-8=22(x-1)+7(y-2); z-8=22x-22+7y-14;

22x+7y-z-28=0.

Рiвняння нормалi до поверхнi має вигляд:

Пiдставляючи значення похiдних маємо рiвняння

нормалi:

Вiдповiдь: 22x+7y-z-28=0;

4. Знайти похiдну поля z=3x²-xy+y² в точцi

A(3,5) в напрямку до точки В(4,0).

Розв`язання.

Знайдемо частиннi похiднi

Обчислимо частиннi похiднi в точцi A(3,5):

Знайдемо вектор

Обчислимо його направляючi косинуси:

Шукана похiдна за напрямком:

Вiдповiдь:

5. Знайти градiєнт поля U=3x²+5xyz-2y²+z² в точцi A(2,3,1).

Розв`язання.

Знайдемо частиннi похiднi поля:

Обчислимо значення частинних похiдних в точці

A(2,3,1):

Градiєнт поля має вигляд:

grad U_A=

Пiдставляючи значення частинних похiдних маємо:

grad U_A=

Вiдповiдь: grad U_A=

6. Знайти кут мiж градiєнтами поля в точках

А(2,1) i B(3,1).

Розв`язання.

Знайдемо частиннi похiднi:

Обчислимо значення частинних похiдних в точках

А и В.

Знаходимо градiєнти поля в точках А и В:

Знаходимо косiнус кута мiж градiєентами:

7. Знайти одиничний вектор нормалi до поверхнi

Z=5x²-2xy+y² в точцi A(1,2).

Розв’язання.

Скалярне поле буде мати вигляд:

Ф(х,y,z)=5x²-2xy+y²-z=0

Знайдемо частиннi похiднi:

Обчислимо їх в точцi A(1,2)

Знаходимо градiєнт поля Ф(х,y,z):

Пiдставляючи значення одержимо

grad Ф=

Знаходимо модуль градiєнта

Шуканий одиничний вектор нормалi: