Завдання ІІІ. Лінійна кореляція

Теоретичні відомості

Статистична залежність називається кореляційною, якщо у разі зміни однієї величини, змінюється середнє значення іншої.

1. Лінійна кореляція

Якщо обидві лінії регресії Y на X і X на Y – прямі, то кореляцію називають лінійною. Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на X має вигляд

де – умовна середня;

і – вибіркові середні ознак X і Y;

і – вибіркові середні квадратичні відхилення X і Y;

– вибірковий коефіцієнт кореляції, причому

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії X на Y має вигляд

Якщо дані спостережень над ознаками X і Y задані у виді кореляційної таблиці з рівновіддаленими варіантами, то доцільно перейти до умовних варіант:

де – «хибний нуль» варіант X (новий початок відліку); як хибний нуль вигідно прийняти варіанту, що розташована приблизно в середині варіаційного ряду (умовимося приймати як хибний нуль варіанту, що має найбільшу частоту);

– крок, тобто різниця між двома сусідніми варіантами X;

– «хибний нуль» варіант Y (новий початок відліку);

– крок, тобто різниця між двома сусідніми варіантами Y.

У цьому випадку вибірковий коефіцієнт кореляції

Величини , , , можуть бути знайдені або методом добутків (при великому числі даних), або безпосередньо за формулами:

Знаючи ці величини, можна обчислити величини, що входять в рівняння регресії за формулами:

Для оцінки сили лінійного кореляційного зв'язку служить вибірковий коефіцієнт кореляції .

Для обґрунтованого судження про наявність зв'язку між кількісними ознаками варто перевірити, чи значимий вибірковий коефіцієнт кореляції.

Кореляційну залежність у від х можна визначити як функціональну залежність умовної середньої у від х. Виконавши певні алгебраїчні перетворення отримаємо:

(3.1) – рівняння регресії у на х;

(3.2) - рівняння регресії х на у.

Функцію f(x) (або f(y)) називають регресією у на х (або х на у). Графік цієї функції називається лінією регресії.

Тіснота зв’язку між х та у оцінюється за допомогою коефіцієнта кореляції . Для незалежних величин =0. Такі величини називаються некорельованими, а корельованими є ті величини, у яких коефіцієнт кореляції відповідно відмінний від нуля. Якщо | |> 0,75, це свідчить про наявність зв’язку між величинами. Якщо | | > 0,997, то зв'язок між величинами дуже тісний. Кореляційний коефіцієнт не може перевищувати 1.

3.1. Рівняння прямих ліній регресії X на Y, Y на X;

	1-9	9-17	17-25	25-33	33-41	41-49	ny	y	V	nyV	nyV2	q	qV
13-23									-2	-24		-23
23-33									-1	-14		-13
33-43												25,5
43-53
53-63
nx										-6
x
U	-2,5	-1,5	-0,5	0,5	1,5	2,5
nxU	-12,5	-19,5	-9	26,5			5,5
nxU2	31,25	29,25	4,5	13,25	22,5	12,5	113,25
t	-10	-20	-2
tU

Табл. 3.1.

Результати обчислень будемо записувати до кореляційної таблиці (табл. 3.1). Перейдемо від початкових варіант та до умовних варіант:

і ,

де . Як візьмемо варіанту х =29, що має найбільшу частоту , як - варіанту у =38, що має найбільшу частоту .

Елементи рядка дорівнюють добуткам відповідних елементів рядків і u; елементи стовпця дорівнюють добуткам відповідних елементів стовпця і v; аналогічно заповнюємо рядок і стовпець .

Кожен елемент стовпця q дорівнює сумі добутків частот , які знаходяться у відповідному рядку вихідної кореляційної таблиці, на відповідні елементи рядка u:

У рядку t кожен елемент дорівнює сумі добутків частот , які знаходяться у відповідному стовпці кореляційної таблиці, на відповідні елементи стовпця v:

і т.д.

У стовпці qv кожен елемент дорівнює добутку відповідних елементів і стовбців q і v, в останньому ряду кожен елемент дорівнює добутку відповідних елементів t і u. Рівність сум використовується для контролю правильності обчислень.

Далі знаходимо:

Тепер знайдемо:

;

;

;

.

Підставивши знайдені величини в (3.1), отримаємо шукане рівняння:

- рівняння регресії у на х;

Порівняємо у з рівняння регресії і у, підрахований за таблицею:

x	yx	yx*табл
	18,1087
	25,66304	22,61538
	33,21739	36,88889
	40,77174	40,64151
	48,32609
	55,88043

Підставивши знайдені величини в (3.1), отримаємо шукане рівняння:

рівняння регресії х на у.

Порівняємо х з рівняння регресії і х*, підрахований за таблицею:

YI	ẍy	ẍy*
	9,666667	12,89653
	17,57143	19,35801
	29,16327	25,81949
	27,4	32,28097
	38,33333	38,74246

3.2. Знайдемо коефіцієнт кореляції:

Зв'язок між величинами наявний, але він не дуже тісний.

3.3.Висновок: в даній роботі ми знаходили рівняння прямих ліній регресії X на Y, Y на X, розрахували вибірковий коефіцієнт кореляції та оцінили силу зв’язку Y і X

.

Додаток 1

	поліном першого порядку
№	x	y	x2	xy	y^	(y-y^)2
		141,1	=B26^2	=B26*C26	=$E$40+$F$40*B26	=(C26-F26)^2
			=B27^2	=B27*C27	=$E$40+$F$40*B27	=(C27-F27)^2
		111,7	=B28^2	=B28*C28	=$E$40+$F$40*B28	=(C28-F28)^2
		86,1	=B29^2	=B29*C29	=$E$40+$F$40*B29	=(C29-F29)^2
		58,4	=B30^2	=B30*C30	=$E$40+$F$40*B30	=(C30-F30)^2
		29,1	=B31^2	=B31*C31	=$E$40+$F$40*B31	=(C31-F31)^2
		9,56	=B32^2	=B32*C32	=$E$40+$F$40*B32	=(C32-F32)^2
сума	=СУММ(B26:B34)	=СУММ(C26:C34)	=СУММ(D26:D34)	=СУММ(E26:E34)		=СУММ(G26:G34)

=A32	=B33	=C33		a0	a1
=B33	=D33	=E33		=C50	=C49

середня кв. похибка

=КОРЕНЬ(G33/A32)

	схема єдиного ділення
x1	x2	b	сума
=A39	=B39	=C39	=A44+B44+C44
=A40	=B40	=C40	=A45+B45+C45
=A44/A44	=B44/A44	=C44/A44	=D44/A44
	=B45-A45*B46	=C45-A45*C46	=B47+C47
	=B47/B47	=C47/B47	=B48+C48
		=C48	=D48
		=C46-B46*C49	=D46-B46*D49

			поліном другого порядку
	№	x	y	x2	x3	x4	xy	x2y
		=B26	=C26	=B56^2	=B56^3	=B56^4	=B56*C56	=D56*C56
		=B27	=C27	=B57^2	=B57^3	=B57^4	=B57*C57	=D57*C57
		=B28	=C28	=B58^2	=B58^3	=B58^4	=B58*C58	=D58*C58
		=B29	=C29	=B59^2	=B59^3	=B59^4	=B59*C59	=D59*C59
		=B30	=C30	=B60^2	=B60^3	=B60^4	=B60*C60	=D60*C60
		=B31	=C31	=B61^2	=B61^3	=B61^4	=B61*C61	=D61*C61
		=B32	=C32	=B62^2	=B62^3	=B62^4	=B62*C62	=D62*C62
	сума	=СУММ(B56:B62)	=СУММ(C56:C62)	=СУММ(D56:D62)	=СУММ(E56:E62)	=СУММ(F56:F62)	=СУММ(G56:G62)	=СУММ(H56:H62)
y^	(y-y^)2
=$F$68+$G$68*B56+$H$68*(B56^2)	=(C56-I56)^2
=$F$68+$G$68*B57+$H$68*(B57^2)	=(C57-I57)^2
=$F$68+$G$68*B58+$H$68*(B58^2)	=(C58-I58)^2
=$F$68+$G$68*B59+$H$68*(B59^2)	=(C59-I59)^2
=$F$68+$G$68*B60+$H$68*(B60^2)	=(C60-I60)^2
=$F$68+$G$68*B61+$H$68*(B61^2)	=(C61-I61)^2
=$F$68+$G$68*B62+$H$68*(B62^2)	=(C62-I62)^2
	=СУММ(J56:J62)

	коефіцієнти
=A62	=B63	=D63	=C63
=B63	=D63	=E63	=G63		a0	a1	a2
=D63	=E63	=F63	=H63		=F87	=F86	=F85

середня кв. похибка
=КОРЕНЬ(J63/A62)

схема єдиного ділення

хід	етапи	коефіцієнти		b	суми
		x1	x2	x3
прямий		=A68	=B68	=C68	=D68	=C76+D76+E76+F76	=B76+C76+D76+E76+F76
		=A69	=B69	=C69	=D69	=C77+D77+E77+F77	=C77+D77+E77+F77
		=A70	=B70	=C70	=D70	=C78+D78+E78+F78	=C78+D78+E78+F78
		=C76/C76	=D76/C76	=E76/C76	=F76/C76	=G76/C76	=C79+D79+E79+F79
			=D77-C77*D79	=E77-C77*E79	=F77-C77*F79	=D80+E80+F80	=D80+E80+F80
			=D78-C78*D79	=E78-C78*E79	=F78-C78*F79	=D81+E81+F81	=D81+E81+F81
			=D80/D80	=E80/D80	=F80/D80	=G80/D80	=D82+E82+F82
				=E81-D81*E82	=F81-D81*F82	=E83+F83	=E83+F83
				=E83/E83	=F83/E83	=G83/E83	=E84+F84
зворотній					=F84	=G84	=E85+F85
					=F82-E82*F85	=G82-E82*G85	=D86+F86
					=F79-E79*F85-D79*F86	=G79-E79*G85-D79*G86	=C87+F87

Додаток 2

2.1)
xi
ni
N	=B3+C3+D3+E3+F3
x ≤2
2<x ≤5	=B3/B4
5<x ≤7	=(B3+C3)/B4
7<x ≤11	=(B3+C3+D3)/B4
11<x ≤15	=(B3+C3+D3+E3)/B4
x >15	=(B3+C3+D3+E3+F3)/B4

2.2)
Ii	2-5	5-8	8-11	11-14	14-17
ni
ni/h	=B16/H15	=C16/H15	=D16/H15	=E16/H15	=F16/H15
Wi	=B16/H16	=C16/H16	=D16/H16	=E16/H16	=F16/H16
Wi/h	=B19/H15	=C19/H15	=D19/H15	=E19/H15	=F19/H15
Ii	2-5	5-8	8-11	11-14	14-17
ni
xi	=(2+5)/2	=(5+8)/2	=(8+11)/2	=(11+14)/2	=(14+17)/2

N	=B23+C23+D23+E23+F23
xв	=(B23*B24+C23*C24+D23*D24+E23*E24+F23*F24)/I24
DB	=((B23*(B24-I25)^2)+(C23*(C24-I25)^2)+(D23*(D24-I25)^2)+(E23*(E24-I25)^2)+(F23*(F24-I25)^2))/I24
σB	=КОРЕНЬ(I26)
xr	=I25
D	=(I26/(I24-1))*I24
σr	=КОРЕНЬ(I29)

Додаток 3

Ū	=I14/I11
Ṽ	=L11/I11
Ϭu	=КОРЕНЬ((I15/I11)-(C19^2))
Ϭv	=КОРЕНЬ((M11/I11)-(C20^2))
rв	=(I17-(I11*C19*C20))/(I11*C21*C22)
ẍ	=(C19*8)+R10
ȳ	=(C20*10)+J8
Ϭx	=C21*8
Ϭy	=C22*10
Y	=(C23*C27)/C26	=((C23*C27)/C26)*(-C24)+C25		ȳx=0,944293x+13038723
XI	ȳx	ȳx*	ȳx*-ȳx
=C5	=(C6*B6)/C11	=$C$26*B32+$D$26	=D32-C32
=D5	=(D6*B6+D7*B7)/D11	=$C$26*B33+$D$26	=D33-C33
=E5	=(E7*B7+E8*B8+E9*B9)/E11	=$C$26*B34+$D$26	=D34-C34
=F5	=(F8*B8+F9*B9+F10*B10)/F11	=$C$26*B35+$D$26	=D35-C35
=G5	=(G8*B8+G9*B9+G10*B10)/G11	=C29*B36+D29	=D36-C36
=H5	=(H10*B10)/H11	=C29*B37+D29	=D37-C37