Одним з недоліків розглянутих методів є високий ступінь інтерполяційного багаточлена, що не завжди є бажаним. Розбивка ж вихідного відрізка на часткові й побудова на них окремих інтерполяційних багаточленів приводить до того, що в точках стику багаточленів похідні розривнi. Цього недоліку позбавлені функції, що інтерполюють, побудовані на основі сплайнов.
Сплайном на відрізку [a, b]називається функція, безперервна на відрізку разом зі своїми похідними до заданого порядку включно, що на часткових проміжках цього відрізка описується різними алгебраїчними багаточленами. |
Розглянемо методику побудови сплайна, заснованого на алгебраїчних багаточленах третього ступеня, тобто так звану, кубічну сплайн – інтерполяцію.
Як і раніше, уважаємо заданої таблицю значень функції в точках a=x0 , x1, x2 ,…, xn = b... На кожному з відрізків [ xi- 1, x i ] багаточлен Pi(x) будемо шукати у вигляді
Таким чином, загальне число багаточленів дорівнює n, а число невідомих коефіцієнтів,- 4n. Тому для їхнього визначення необхідно така ж кількість умов.
|
|
Зажадаємо, щоб кожний багаточлен у крайніх точках свого відрізка задовольняв умовам
, , ,
що дає 2n співвідношень. Далі, зажадаємо, щоб у внутрішніх вузлових точках перша й друга похідні функції, що інтерполює, були безперервними, тобто
, , .
Це дає ще 2(n-1) обмежень. Для одержання двох відсутніх можна додатково зажадати, що в крайніх точках відрізка функція, що інтерполює, мала нульову кривизну, тобто,
,
Таким чином, для визначення коефіцієнтів багаточленів маємо систему рівнянь.
,
яка виявляється лінійною. У тому випадку, коли вузлові точки є рівновіддаленими, тобто , вона істотно спрощується й приймає вид
.
Зокрема, для трьох рівновіддалених вузлів, тобто n=2, маємо
яка легко вирішується в загальному виді. Дійсно, з 1-го, 2-го, 5-го й 6-го рівнянь треба , , і , а частина, що залишилася, після традиційних перетворень приводиться до трикутного виду
.