Погрішності інтерполяційних формул

Нижче зупинимося лише на основних елементах методики оцінки погрішності інтерполяційних формул, постараючись зберегти її логічну схему.

Нехай y=f(x), - дана функція, а P_n(x)- її інтерполяційний багаточлен. Тоді погрішність R_n(x) інтерполяції функції в точцi х дорівнює

R_n(x)=f(x) – P_n(x),

звідки

f(x)=P_n(x)+R_n(x) (2.8)

Додамо тепер точку x до заданих вузлових точок і розглянемо інтерполяційний багаточлен P_n+1(z) у формі Ньютона, побудований уже по (n+2) точкам х₀, х₁…х_n,x. Його значення в тоці x дорівнює:

P_n+1(x)=f(x)+(x-x₀)f(x₀, х₁)+...+(х-х₀)...(х-хn)f(x₀,...х_n, х)

Але, по побудові, , а перші доданків правої частини являють собою . Таким чином,

Порівнюючи тепер це співвідношення з (2.8),одержуємо

(2.9)

Це і є одна з форм подання погрішності апроксимації. Її недоліком є та обставина, що для обчислення необхідне значення , що невідомо. Як вихід з такого положення залишається взяти лише його наближене значення, тобто , однак у цьому випадку співвідношення (2.9) стає вже наближеним.

Якщо ж припустити, що функція досить гладка й має безперервні похідні до -го порядку включно, то з формули

справедливість якої треба по індукції, по теоремі про середній випливає співвідношення

де Тоді (2.9) приймає вид

(2.10)

Недоліком цього співвідношення є те, що невідомо значення . Однак, якщо відомо вид функції ,те корисної може виявитися оцінка

У тому випадку, коли вузлові точки рівновіддалені й , , те по індукції можна показати, що

(2.11)

Якщо до них додати точку не змінює характер розташування вузлів, то формула залишається справедливої й для розділеної різниці наступного порядку. Т.е.