Попередні зауваження

Звичайно процес рішення рівняння

, (4.1)

де - деяка безперервна функція, розпадається на два етапи.

Перший з них полягає у встановленні проміжку [ a, b ], на якому перебуває, принаймні, один корінь рівняння (4.1). Цей етап називається відділенням корінь і може здійснюватися різними способами. Один з них базується на фундаментальній властивості безперервних функцій, описаній теоремою Больцано-Коші:

Нехай функція безперервна на відрізку [ a, b ] і на його кінцях приймає значення різних знаків. Тоді існує внутрішня точка , у якій .

Геометрично це означає, що при виконанні зазначених умов графік функції на відрізку [ a, b ], хоча б один раз, перетне вісь ox (Малюнок 4.1).

Рисунок 4.1. Ілюстрація до теореми Больцано-Коші

Звідси треба, що для відділення корінь рівняння (4.1) на спочатку заданому відрізку [ А; В ] необхідно з деяким кроком h провести обчислення функції в точках і виділити той або той відрізки , для яких . Якщо з обраним значенням h такий проміжок вибрати не вдалося, то необхідно повторити обчислення, зменшуючи до розумних меж значення h.

Інший спосіб відділення корінь, - графічний. При сучасному рівні розвитку обчислювальної техніки він, очевидно, є й більше кращим. Полягає в побудові графіка функції на проміжку [ A; B ] і у встановленні, виходячи із графіка, відрізка [ a, b ], на якому він перетинає вісь ох.

Зауваження. На теоремі Больцано-Коші заснований один з методів рішення нелінійних рівнянь, - метод половинного ділення. Він полягає в наступному. Нехай установлений відрізок [ a, b ], на якому . Далі, розглядається середина цього відрізка точка , визначається й з відрізків [ a; c ], [ c; b ] вибирається той, на якому функція міняє знак.

На обраному відрізку, позначимо його через [ a₁, b₁ ], величина якого дорівнює , знову розглядається середина відрізка , визначається й з відрізків [ a₁; c₁ ], [ c₁; b₁ ] вибирається той, на якому змінює знак. Він позначається через [ a₂, b₂ ] і процедура повторюється. На n- n - ом кроці величина відрізка [ a_n, b_n ] дорівнює . Якщо вона менше , де - необхідна точність рішення рівняння, то процес послідовного ділення завершується і як наближене рішення вибирається .