Методи, засновані на алгебраїчній інтерполяції

Розглянемо рівняння (4.1). Нехай - деяке наближення до його рішення. Розкладемо ліву частину рівняння по формулі Тейлора в точці

. (4.2)

Метод Ньютона. Обмежимося в розкладанні (4.2) першими двома доданками

і розв'яжимо отримане вираження відносно х

.

Останнє співвідношення приймається в якості базового для формування обчислювального процесу. Він описується формулою

(4.3)

і називається методом Ньютона. Помітимо, що правило (4.3) має цілком певний геометричний зміст.

Дійсно, розглянемо рівняння дотичної до графіка функції в точцi

і визначимо її точку перетинання з віссю ох. Маємо , звідки

.

З порівняння отриманого вираження з (4.2) слiдує висновок, що

абсциса точцi перетинання дотичній, проведеної до графіка функції в точці і являє собою наступне наближення до рішення рівняння (4.1) (Малюнок 4.2).

Рисунок 4.2. Метод Ньютона

Із цієї причини метод Ньютона називають ще методом дотичних.

Метод хорд. Розглянемо (4.3). Замінимо в ньому

на .

У результаті цього одержимо нове обчислювальне правило

(4.4)

називане методом хорд.

З'ясуємо його геометричний зміст.

Розглянемо точки кривої , і проведемо через них пряму

.

Знайдемо, далі, її точку перетинання з віссю абсцис. Маємо

, .

Порівнюючи отримані вираження зі співвідношенням (4.4), доходимо висновку, що

абсциса точки перетинання прямій, що проходить через точки кривій, обумовлені двома останніми наближеннями, являє собою наступне наближення до рішення рівняння (4.1) (Малюнок 4.3).

Рисунок 4.3. Метод хорд

Збіжність, оцінка погрішності. Розглянемо ці питання на прикладі методу Ньютона.

Розглянемо відображення

,

де , - ліва частина рівняння (4.1), .

Помітимо, що нерухома точка відображення , якщо вона є, є й рішенням рівняння (4.1). Дійсно, нехай існує значення х таке, що . Звідси

,

звідки , що й було потрібно.

Далі, нехай , - довільні значення х, оцінимо величину . Маємо

Тоді по теоремі Лагранжа

де , або

де .

Звідси слiдує твердження.

Якщо або, що то ж , то відображення є стискаючим, послідовність (4.3), їм формована,є збіжною й, отже, метод дотичних у цьому випадку сходиться.

Гранична точка х послідовності (4.3) є нерухомою точкою відображення і є шуканим рішенням. Погрішність , - n- го наближення до рішення, як і раніше, описується співвідношенням (3.10).