Аналітичні методи

Розглянемо два з них.

Метод послідовних наближень. Представимо в рівнянні (1) у вигляді відносини диференціалів , тоді

Далі, інтегруючи обидві частини отриманого співвідношення на проміжку [ x₀, x ] одержуємо

або

(3)

Співвідношення (3) являє собою інтегральне рівняння, еквівалентне задачі (1), (2). На його основі будується наступний обчислювальний процес

(4)

де , що і називається методом послідовних наближень. За певних умов послідовність функції сходиться до точного рішення задачі (1), (2). А саме,

Нехай у прямокутнику виконані умови теореми існування й одиничності й . Тоді в проміжку , де послідовність (4) сходиться до точного рішення. Причому справедливо наступну оцінку

де .

Для ілюстрації цього методу розглянемо наступний

Приклад. Знайти рішення задачі Коші

, .

Знайти два перших наближення до рішення, оцінити погрішність.

Рішення. Візьмемо як область квадрат [-1, 1; -1, 1]. Тут , , . Тоді

т.е. М=2,

т.е. N=2,

Погрішність n- го наближення

звідси погрішність другого,- .

Знайдемо наближення Думаючи, що , з (4) маємо

т.е. .

Тоді

т.е.

Зауваження. У тому випадку, коли дана погрішність наближеного рішення число ітерацій, тобто послідовних наближень, можна знайти, зажадавши

Так, наприклад, у розглянутому прикладі

звідки й значення встановлюється послідовним перебором.

Метод рядів Тейлора. У цьому випадку рішення задачі (1), (2) шукається у вигляді ряду

Значення похідних, необхідних для побудови рішення перебувають шляхом послідовного диференціювання рівняння (1). Так, безпосередньо з нього треба

Далі,

тоді

і т.д.

Очевидно, що дана процедура дозволяє одержати рішення з як завгодно високою точністю лише в тому випадку, коли функція є нескінченно дифференцируемой у крапці В противному випадку даний метод може бути взагалі не застосуємо. Див., наприклад, задачу