Чисельні методи рішення. Правило Рунге

Класифікація методів. Виробляється залежно від особливостей тої інформації, що використовується при обчисленні наближеного значення y(x) у вузловій крапці.

У першому наближенні правило, по якому відбуваються обчислення символічно можна представити у вигляді

(5)

де

- наближені значення рішення задачі (1), (2) у крапках

h – крок інтегрування. Якщо

1) , а , те правило (5) називається однокроковим, у противному випадку,- багатокроковим;

2) , обчислювальне правило називається явним, при неявним, при , - із забіганням уперед.

Далі, основну увагу приділимо однокроковим методам. Відповідне обчислювальне правило має вигляд

де .

Методи, засновані на розкладанні в ряд Тейлора. Припустимо, що вузли інтегрування є рівновіддаленими, тобто й розглянемо ділянку . Припускаючи функцію дифференцируемую достатнє число раз, маємо

(6)

Обмежуючись малими першого порядку відносно h, одержимо правило

(7)

яке називається явним методом Эйлера. Його погрішність на відрізку становить

де , а на кінцевому відрізку [ a, b ] з огляду на , дорівнює

де . На підставі цього даний метод називається методом першого порядку точності. Він має наочну геометричну інтерпретацію (Малюнок 1) і називається також методом ламаних. На кожній ділянці довжиною h ділянка інтегральної кривої заміняється відрізком прямої.

Малюнок 1. Явна схема Эйлера.

Зауваження 1. Якщо скористатися розкладанням

(8)

і також обмежитися малими першого порядку, одержимо правило

(9)

яке називається неявною схемою Эйлера.

Погрішність формули (9) дорівнює

погрішність методу на кінцевому проміжку

Зауваження 2. Складемо (7), (9) і розділимо на два, у результаті чого одержимо нове правило

називане методом трапецій. Також як і (9) воно є неявним. Якщо з розкладання (6) почленно відняти розкладання (8), одержимо локальну погрішність формули трапецій

Тоді погрішність, що накопичується на відрізку буде дорівнює

де . Таким чином, метод трапецій має другий порядок точності.

Зауваження 3. Розглянуті вище погрішності наближених методів описують ті помилки, які виникають внаслідок заміни диференціального рівняння кінцевою обчислювальною схемою й називається погрішністю апроксимації. Крім цього в загальному балансі відіграють роль погрішності, що виникають на кожному кроці інтегрування в результаті використання наближеного значення замість точного Їх звичайно відносять до погрішностей обумовленим неточностями в завданні вихідних даних і розглядають окремо.

Методи Рунге-Кутта. Розглянемо рівняння (1). Інтегруючи його на проміжку одержимо

Тоді після заміни , де , для приросту на n-ом кроці одержимо вираження

(10)

Таким чином, задача обчислення значення функції в крапці зводиться до обчислення інтеграла в співвідношенні (10). Однак використання традиційних квадратурних формул для цих цілей проблематично, тому що значення невідомі. У методах Рунге - Кутта квадратурні схеми будуються в такий спосіб.

Уводяться три групи параметрів , де

якими розпоряджаються так. Перша група параметрів визначає набір вузлових значень по першої змінної подинтегральной функції . Друга група параметрів визначає набір вузлових значень по еї другий змінної. Причому виробляється це непрямим образом через прирости функції в попередніх вузлових крапках, де

........

Нарешті, третя група параметрів використовується для формування квадратурної формули

Таким чином, остаточно

(11)

Позначимо погрішність співвідношення (11) через , тобто

або

Представимо її за допомогою формули Тейлора у вигляді розкладання по ступенях h

де .

Якщо зажадати тепер, щоб одержимо погрішність співвідношення (11) рівну й, отже, погрішність методу рівну .

До числа найбільш уживаних ставляться методи 4-го порядки точності. Для них значення . Один з варіантів відповідного набору параметрів наступний

Тоді вираження мають вигляд

коефіцієнти ,-

, , ,

і обчислювальне правило, у цілому,

На Малюнку 2 у смузі зазначені використовувані в цьому методі вузлові крапки. Значення обрані довільно.

Малюнок 2. Вузлові крапки методу Рунге-Кутта 4-го порядку

Правило Рунге. Для оцінки погрішності чисельних результатів інтегрування при використанні однокрокових методів на практиці звичайно застосовують правило Рунге, що полягає в наступному.

Теоретично показано, що головний член погрішності апроксимації має вигляд , де k – порядок методу, - деяка функція, обумовлена особливостями правої частини диференціального рівняння.

де , - точне значення, , наближене, певне при проведенні розрахунків із кроком h. Тоді, проводячи розрахунки із кроком і , одержуємо

Дозволяючи, далі, наближену систему цих співвідношень відносно , маємо

звідки

. (12)

Співвідношення (12) і представляє правило Рунге. Природно, воно дає достовірні результати лише в тому випадку, що коли домінує в загальній погрішності результату є погрішність методу.

Звичайно правило (12) використовують при , . Тоді