Векторы и скаляры. Линейные действия над векторами

Краткое содержание лекции

Вектором а, называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из этого множества говорят, что он представляет вектор а. Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |a|=|AB|. Модуль вектора – это скаляр.

Вектор нулевой длины, называется нулевым вектором и обозначается символом О. Векторы а и в, называются коллинеарными если они параллельны одной прямой. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

В b

А C

А

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковый модуль, параллельны и направлены в одну и ту же сторону.

a

b

К линейным действиям над векторами относятся их сложение и умножение вектора на скаляр.

Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Приложив к точке В заданный вектор в, получим некоторый направленный отрезок ВС. Вектор, представляемый направленным отрезком АС, называется суммой векторов а и в и обозначается а + в. Суммой векторов а+в+с называется вектор R=OC, замыкающий ломаную ОАВС построенную

из данных векторов.

В частности, в параллелограмме, построенном на данных векторах ОА=а и ОВ = в, один вектор – диагональ ОС есть сумма а+в, а другой ВА есть разность а-в. Если дан вектор а=АВ, то вектор ВА называется противоположным вектором к вектору а и обозначается – а. Очевидно, что а+(-а)= 0. Вычесть какой - либо вектор – это значить прибавить противоположный. Отсюда следует, что в + (а - в)=в + [в + (-в)]=а+0=а.

Система векторов а ֽ ..., аn называется линейно-зависимой, если существуют числа λ1,..., λn такие, что хотя бы одна из них отлично от нуля и λ1 а 1 +...+ λn а n =0. В противном случае система называется ли нейно – независимой.