Если е1, е2, е3 – базисы, то
а = х1е1+х2е2+х3 е3 (2)
Числа х1, х2, х3 называются координатами вектора а в базисе β=(е1,е2,е3). Запись (2) называют также разложением вектора а по базису β.
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними: () = = | |×| |×cosφ
Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:
- Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство): =
- Распределительное свойство. ( + ) = + .
- Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т. е. 2= | |2
- Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т. е. (λ ) = (, λ ) = λ()
- Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т. е. (λ + μ , ) = λ(, ) + μ(, )
Косинус угла φ= () между двумя ненулевыми векторами и равен cosφ= .
Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда
|
|
Пусть =ax + ay + az и =bx + by + bz , тогда =axbx+ayby+azbz, здесь учтены, что = = = 0 и = = = 1
Поэтому косинус угла φ между двумя векторами и определяется cosφ= (axbx+ayby+azbz)/ (| || |)
Для перпендикулярных векторов и имеем φ=π/2 и, следовательно, cosφ=0, или axbx+ayby+azbz=0.
Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор = × =[a.b], для которого:
1. Модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. |c| = |a | |b|sinφ,где φ=∟(), (0≤φ≤π) (рис 4.1);
рис 4.1
2. Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е. ┴ и ┴ ;
3. Если векторы неколлинеарные, то векторы , образуют правую тройку векторов.
Основные свойства векторного произведения.
1. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е. × =-( × )
2. Векторный квадрат равен нуль-вектору, т. е. × =0
3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т. е. если λ-скалярное, то (λ × ) = ( ×λ ) = λ( × )
4. Для любых трёх векторов a,b,c справедливо равенство ( + )× =()+()
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и : × =0
Пусть =ax + ay + az и =bx + by + bz , тогда
× = | ay az| - | ax az| + | ax ay|
| by bz| |bx bz| | bx by |
Для удобства последняя формула записывается в виде определителя третьего порядка
| |
× = | ax ay az|
|bx by bz|
Под смешанным произведением и понимается число
Построим параллелепипед (рис 4.2),
рис 4.2
Ребрами которого, исходящего из общей вершины О, являются векторы и . Тогда | × |=S представляет собой площадь параллелогромма, построенного на векторах и , т. е. площадь основания параллелипипеда. Высота этого параллелипипеда равна H= ±nр = ±| | cosφ, где = × и знак плюс соответствует острому углу φ=∟(, ), а знак минус тупому углу φ. В первом случае векторы , образуют правую тройку, а во втором- левую тройку. Поэтому = = S np =±V, т. е. объём параллелипипеда, построенного на векторах , . Отсюда =±V.
|
|
Основные свойства смешанного произведения
- = =
- = = = =-
Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов , : =0
Если = ax + ay + az , =bx + by + bz , =сx + сy + сz то
| ax + ay + az|
=| bx+ by + bz|
| сx + сy + сz|
Задание на СРС:
1. Вычисление длины вектора, угла между векторами. (Конспект. Срок сдачи по графику) [1,5,6]
2. Решить №1,3 из [2-стр. 273; 4], по вариантам.
Задание на СРСП:
1. Разложение вектора по базису. [3 – стр. 156 ]
Контрольные вопросы