2015-08-21
6164
Выше уже отмечалось, что дифференциальные уравнения Навье–Стокса невозможно решить для большинства практически важных случаев.
Теория подобия позволяет преобразовать уравнения Навье–Стокра и получить из них некоторую общую функциональную зависимость между критериями подобия, характеризующими силы, действующие при движении вязкой жидкости.
Перепишем уравнение Навье–Стокса для капельной жидкости в развернутом виде для одной из осей – вертикальной оси z:
Для подобного преобразования этого уравнения воспользуемся правилом: критерии подобия можно получить путем деления одной части дифференциального уравнения на другую и последующего отбрасывания знаков математических операторов.
Если движение жидкости установившееся, то ее скорость не зависит от времени, т. е. член 
. При этом, заменяя в левой части уравнения, характеризующей силу инерции, дифференциалы конечными величинами, находим
где 
– определяющий линейный размер.
В правой части уравнения член, отражающий действие силы тяжести, равен 
. Член 
характеризующий действие силы давления, можно заменить отношением 
, т.е. 
. Наконец, последнее слагаемое правой части, отражающее действие силы трения 
Разделим члены одной части уравнения на члены другой его части и найдем таким образом выражения, характеризующие соотношения между соответствующими силами и силой инерции, или, иначе говоря, выразим эти силы в относительных единицах, приняв за масштаб силу инерции. В результате получим безразмерные соотношения величин – критерии подобия.
Выражение, характеризующее отношение силы тяжести к силе инерции, имеет вид
Безразмерный комплекс 
представляет собой критерий Фруда и обозначается через Fr. Чтобы избежать чисел, меньших единицы, предпочитают пользоваться обратным выражением, и, таким образом, критерием Фруда обычно называют величину
 | 7-10 |
Критерий Фруда отражает влияние сил тяжести, или собственного веса, на движение жидкости. В виде выражения (7-10) он является мерой отношения силы инерции к силе тяжести в подобных потоках.
Соотношение между силами давления и инерции может быть охарактеризовано выражением
Полученный комплекс - называют критерием Эйлера
и обозначают через 
. Обычно ему придают несколько иной вид, вводя в него вместо абсолютного давления р разность давлений 
между какими-либо двумя точками жидкости:
 | 7-11 |
Критерий Эйлера отражает влияние перепада гидростатического давления на движение жидкости. Он характеризует отношение изменения силы гидростатического давления к силе инерции в подобных потоках.
Найдем выражение, являющееся мерой отношения силы трения к силе инерции, приняв за критерий подобия (для того чтобы избежать чисел, меньших единицы) обратное отношение:
 | 7-12 |
Полученный безразмерный комплекс величин называется, как известно, критерием Рейнольдса.
Таким образом, критерий Рейнольдса отражает влияние силы трения на движение жидкости. Он характеризует отношение инерционных сил к силам трения в подобных потоках.
Величина 
в критерии Re, как и в других критериях подобия, представляет собой определяющий линейный размер. При движении жидкости через трубопроводы или аппараты за такой размер принимается их диаметр d, а в случае некруглого сечения потока – эквивалентный диаметр dэ.
При неустановившемся движении жидкости в уравнении Навье– Стокса 
ф 0. Заменив член, отражающий влияние нестационарности движения 
, охарактеризуем соотношение между силой инерции и этой величиной:
Безразмерный комплекс 
– называется критерием гомохронности и обозначается через Но. Следовательно
 | 7-13 |
Критерий гомохронности учитывает неустановившийся характер движения в подобных потоках.
Во всех сходственных точках движущихся подобно жидкостей
Согласно второй теореме подобия, решение уравнений Навье–Стокса можно теперь представить в виде функциональной зависимости между полученными критериями подобия, т. е.
 | 7-14 |
В ряде случаев зависимость (7-14) должна быть дополнена симплексами геометрического подобия. При движении жидкости через трубы или каналы таким симплексом является отношение длины 
трубы к ее диаметру d или эквивалентному диаметру dэ.
Тогда критериальное уравнение принимает вид
 | 7-14а |
При наиболее важной для практики формулировке задачи все входящие в уравнение критерии, кроме критерия Эйлера, служат определяющими, так как они составлены исключительно из величин, выражающих условия однозначности. В критерий же Эйлера входит величина 
, значение которой при движении жидкости по, трубе полностью обусловливается формой трубы (отношением 
), физическими свойствами жидкости 
и распределением скоростей у входа в трубу и у ее стенок (начальные и граничные условия). Поэтому, согласно третьей теореме подобия, для подобия необходимо и достаточно соблюдение равенства значений 
. Следствием выполнения этих условий будет также равенство значений определяемого критерия 
в сходственных точках подобных потоков. Поэтому уравнение (11,85а) представляют как
 | 7-14б |
Зависимости (7-14), (7-14а) или (7-14б) называют обобщенным, или критериальным, уравнением гидродинамики.
Функцию (7-14б) наиболее часто аппроксимируют степенной зависимостью, т. е. придают этой функции вид
 | 7-15 |
или после подстановки соответствующих безразмерных комплексов величин
 | 7-15а |
Путем обработки опытных данных, полученных на моделях, находят числовые значения коэффициента А и показателей степеней т, п, р, q при соответствующих критериях[5].
Из полученного уравнения обычно определяют величину 
, входящую в критерий 
. В частности, при движении жидкости через трубопроводы и аппараты так находится потеря давления (напора).
Если движение жидкости является установившимся, то критерий гомохронности может быть исключен из уравнений (7-14) и (7-15). Следовательно, для установившегося движения обобщенное уравнение гидродинамики имеет вид
 | 7-15б |
