Законы Кирхгофа

I закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексов токов в ветвях, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

(3.2)

II закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексов ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в ветвях этого контура:

(3.3)

Комплекс полной мощности определяется:

(3.4)

где S = UI – полная мощность;

P = UI cosφ – активная мощность;

Q = UI sinφ – реактивная мощность;

– сопряженный комплекс тока.

Резистивный элемент в цепи переменного тока (рис. 3.1, а) обладает активным сопротивлением.

Рис. 3.1

Если ток изменяется по синусоидальному закону

i = I_m sin (ωt + ψ_i),

то и напряжение изменяется по тому же закону u = U_m sin(ωt + ψ_u). Законы изменения тока и напряжения во времени показаны на рис.3.1, б. Изображающие их векторы и (рис. 3.1, в) также совпадают по фазе, т. е. φ

В символической (комплексной) форме закон Ома в общем случае запишется:

(3.5)

где , .

Для действующих значений закон Ома

(3.6)

Мощность, потребляемая резистивным элементом, называется активной мощностью. Эта мощность расходуется на нагрев активного сопротивления резистивного элемента. Количественно она определяется как средняя мощность за период:

(3.7)

Конденсатор в цепи переменного тока (рис. 3.2, а). Основным параметром конденсатора является емкость С, характеризующая его способность накапливать электрическую энергию. Так как конденсатор обладает незначительным активным сопротивлением, то в первом приближении его можно считать идеальным элементом (чисто емкостным).

При приложенном к конденсатору напряжении u = U_M sinωt через него протекает ток i = I_Msin(ωt +π/2), т. е. ток опережает по фазе напряжение на четверть периода (рис. 3.2, б, в).

Рис. 3.2

Сопротивление идеального конденсатора определяется как

(3.8)

и называется реактивным емкостным сопротивлением. Здесь С – емкость конденсатора.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения для цепи с идеальным конденсатором

(3.9)

в комплексной форме:

(3.10)

где ; .

Среднее значение мощности за период в цепи с идеальным конденсатором равно нулю:

(3.11)

В цепи с идеальным конденсатором происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и электрическим полем конденсатора без затраты энергии источника. Поэтому конденсатор получил название реактивного элемента.

Параметр, характеризующий энергию, которой обмениваются источник и конденсатор, называется реактивной мощностью и обозначается Q_C. Количественно она определяется:

(3.12)

Катушка в цепи переменного тока. В электрической цепи с идеальной индуктивной катушкой (рис. 3.3, а) активное сопротивление R_K= 0. При приложении переменного напряжения u=U_Msinωt по катушке протекает ток i=I_msin(ωt – π/2) (рис. 3.3, б), т.е. ток отстает по фазе от напряжения на угол π/2 и вектор İ отстает от вектора на угол π/2 (рис. 3.3, в).

Рис. 3.3

Сопротивление идеальной катушки X_L = ωL = 2πfL, Ом, называют индуктивным сопротивлением катушки. Здесь L – индуктивность катушки.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения для цепи с идеальной индуктивной катушкой:

(3.13)

в комплексной форме:

(3.14)

где ; .

Среднее за период значение мощности цепи с идеальной катушкой Р_ср= 0, т. е. в цепи с идеальной индуктивной катушкой происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и магнитным полем катушки без затрат энергии источника. Поэтому индуктивная катушка получила название реактивного элемента, а мощность – реактивной Q_L. Количественно она определяется:

(3.15)

Электрическая цепь с реальной индуктивной катушкой (рис. 3.4, а). Все реальные цепи, содержащие индуктивность, обладают активным сопротивлением R_K (сопротивление провода катушки, подводящих проводов и т. д.). Такую реальную индуктивную катушку можно представить из последовательно соединенных идеальных элементов: идеРис. 3.4

альной индуктивной катушки L и резистивного элемента с активным сопротивлением R_K (рис. 3.4, б).

При приложенном к реальной катушке напряжении u = U_M sinωt по ней протекает ток i = I_Msin(ωt – φ_i). To есть ток отстает по фазе от напряжения на угол φ_К = φ_u – φ_i (рис. 3.4, в), который из-за наличия в катушке активного сопротивления R_K всегда меньше 90°. Вектор отстает от вектора на угол φ_K (рис. 3.4, г).

Сопротивление реальной индуктивной катушки:

(3.16)

в комплексной форме:

, (3.17)

где – модуль комплексного полного сопротивления реальной индуктивной катушки; – его аргумент.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения:

(3.18)

в комплексной форме:

(3.19)

Активная мощность в реальной индуктивной катушке:

(3.20)

где коэффициент мощности

(3.21)

Реактивная мощность

(3.22)

Трансформаторы и синхронные генераторы конструктивно рассчитываются для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их номинальную мощность, от которой зависит их стоимость и размеры, часто характеризуют не активной, а полной мощностью:

(3.23)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

(3.24)

в комплексной форме:

(3.25)

Здесь – сопряженный комплекс тока.

Последовательное соединение из резистивного элемента, реальной индуктивной катушки и конденсатора представлено на рис. 3.5, а.

Схема замещения такой цепи представлена на рис. 3.5, б. Полное сопротивление такой цепи:

(3.26)

В комплексной форме оно записывается

(3.27)

Ток, протекающий по цепи:

(3.28)

где R_K = Z_K cos φ_к, X_L = Z_K sin φ_к.

В комплексной форме:

(3.29)

где φ = φ_u – φ_i

Рис. 3.5

Напряжения на зажимах цепи:

(3.30)

В комплексной форме:

(3.31)

На основании ІІ закона Кирхгофа напряжение, приложенное к цепи:

– для мгновенных значении

(3.32)

– для действующих значении

(3.33)

где U_ak = R_kI = U_k cos φ_k; U_L = I X_L = U_k sin φ_k;

– для комплексных значении

(3.34)

Активная мощность цепи

(3.35)

Коэффициент мощности всей цепи

(3.36)

Коэффициент мощности катушки

(3.37)

где Р_K = R_K I²; S_K = U_K I.

Реактивная мощность

(3.38)

Полная мощность

(3.39)

Комплексная полная мощность цепи

(3.40)

Построение векторной диаграммы напряжений и тока для цепи, изображенной на рис. 3.5, б, следует начинать с построения вектора тока I, так как по всем элементам протекает один и тот же ток.

При построении векторов напряжений необходимо учитывать фазовые сдвиги между напряжением и током для соответствующих элементов (см. рис. 3.1, 3.3, 3.4). Тогда векторная диаграмма напряжений и тока для цепи, изображенной на рис. 3.5, а, б, для которой на основании ІІ закона Кирхгофа , при условии, что , следовательно, , будет иметь вид, представленный на рис. 3.5, в.

Если в цепи, изображенной на рис. 3.5, а, б, реактивные сопротивления равны (), следовательно, напряжения на реактивных элементах также будут равны (), то в такой цепи возникает резонанс напряжений, при котором напряжения на реактивных элементах могут значительно превысить напряжения на входе цепи и вывести их из строя (пробой в конденсаторе, межвитковые замыкания в катушке), а значит, нарушить нормальную работу в цепи. Поэтому явление резонанса напряжений недопустимо в силовых электрических цепях.

Домашнее задание

Изучите основные теоретические положения, относящиеся к работе резистивного, индуктивного и емкостного элементов в цепях синусоидального тока. Рассмотрите схемы опытов и построение векторных диаграмм напряжений.

Выпишите формулы расчетов параметров, представленных в таблицах лабораторной работы. Запишите условия возникновения резонанса напряжений.

Порядок выполнения работы

1. Соберите цепь по схеме рис. 3.6.

2. При помощи ЛАТРа установите напряжение 100 В и проведите три замера, меняя сопротивление R₁. Показания приборов занесите в табл. 3.1.

3. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи и катушки индуктивности. Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.

Рис. 3.6

Таблица 3.1

4. Соберите цепь по схеме рис. 3.7.

5. Полностью введите реостат R₁. Включите половину конденсаторов. Установите с помощью Т₃ напряжение 100 В. Изменяя сопротивление R₁, сделайте три замера, при этом поддерживайте напряжение 100 В. Показания приборов запишите в табл. 3.2.

Рис. 3.7

6. Установите заданное значение сопротивления R₁. При неизменном напряжении 100 В и сопротивлении R₁, изменяя емкость конденсаторов С, сделайте три опыта. Показания приборов запишите в табл. 3.2.

Таблица 3.2

7. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи и конденсатора. Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.

8. Соберите цепь по схеме рис. 3.8.

. Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.8. Соберите цепь по схеме рис. 3.8.

9. Установите с помощью Т₃ напряжение 100 В, выключите конденсаторы, установите заданные значения R₁и Z_K.

Рис. 3.8

Увеличивая количество включенных конденсаторов, убедитесь в том, что в схеме ток будет возрастать (до резонанса), достигнув максимума при резонансе напряжений. При дальнейшем увеличении емкости ток начинает уменьшаться (после резонанса).

Проделайте один опыт до резонанса, второй – при резонансе и третий – после резонанса. Результаты измерений запишите в табл. 3.3.

10. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи, реостата, конденсатора и катушки индуктивности (табл. 3.3). Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.

Контрольные вопросы

1. Основные параметры синусоидального тока.

2. Закон Ома в символической форме.

3. Законы Кирхгофа в символической форме.

4. Напишите уравнения электрического состояния для каждой схемы в символической форме.

5. Запишите комплексные полные сопротивления каждой цепи.

6. Резистивный элемент в цепи переменного тока.

7. Конденсатор в цепи переменного тока.

8. Индуктивность в цепи переменного тока.

9. Коэффициент мощности и его значение.

10. Условия возникновения резонанса напряжения.

11. Чему равен cosφ при резонансе напряжений?