Основные теоретические положния

Особенностью расчета разветвленных цепей переменного тока является то, что при расчете используется метод проводимостей, с помо­щью которого определяют все искомые величины. При таком подходе выражение для определения полной проводимости ветвей или цепи с параллельным соединением элементов имеет такой же достаточно про­стой вид, как и выражение для определения полного сопротивления в цепи с последовательным соединением элементов:

(4.1)

Здесь Y – полная проводимость цепи или ветви;

g – активная проводимость ветви;

b_L – индуктивная проводимость ветви;

b_C – емкостная проводимость ветви.

В символической (комплексной) форме полная проводимость цепи или ветви записывается в виде

(4.2)

Закон Ома для определения величины тока цепи или ветви:

(4.3)

в комплексной форме

(4.4)

где – комплекс действующего значения тока;

– комплекс действующего значения напряжения;

U, I – соответственно действующее значение напряжения и тока;

φ_i, φ_u – соответственно начальные фазы тока и напряжения;

е – основание натурального логарифма.

В ряде случаев расчет разветвленных цепей переменного тока можно проводить не через проводимости, а через сопротивления. Наиболее удобно в этом случае проводить расчет, используя символический (комплексный) метод, так как он позволяет применять все те же методы расчета, как и для цепей постоянного тока.

Рассмотрим несколько примеров расчета разветвленных цепей пе­ременного тока.А. Цепь с параллельным соединением идеализированных элементов (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Проводимости ветвей цепи:

(4.5)

где R – сопротивление резистивного элемента;

– сопротивление идеальной индуктивной катушки;

– сопротивление идеального конденсатора.

Полная проводимость цепи

(4.6)

Комплексная полная проводимость цепи

(4.7)

Токи, протекающие в ветвях, и общий ток цепи

(4.8)

Общий ток цепи, в комплексной форме:

(4.9)

где – комплекс общего тока;

– комплекс напряжения, приложенного к цепи;

– соответственно начальные фазы тока и напряжения.

Построение векторной диаграммы токов и напряжений для цепи, изображенной на рис. 4.1, а (и подобных цепей), следует начинать с построения вектора напряжения, так как напряжение одно и то же. При построении векторов токов необходимо учитывать характер сопротив­лений, по которым протекают токи. Следовательно, векторы тока и на­пряжения на резисторе совпадают по фазе. Ток, протекающий по иде­альной индуктивности, отстает по фазе от приложенного напряжения на угол 90°. Так как конденсатор обладает незначительным активным со­противлением, его можно считать идеальным емкостным элементом, а ток, протекающий по конденсатору, опережает приложенное к нему на1­пряжение на угол 90°. Тогда векторная диаграмма токов и напряжения для цепи, в которой на основании I закона Кирхгофа , при условии, что b_l > b_С, следовательно, I_L > I_С, будет иметь вид, пред­ставленный на рис. 4.1, б.

В случае, когда в цепи (рис. 4.1, а) реактивные проводимости бу­дут равны между собой (b_l = b_С), то и реактивные токи также будут рав­ны между собой (I_L = I_C) и взаимно компенсируются, здесь имеет место явление резонанса токов. В этом случае общий ток в цепи I_O и напряжение на входе цепи U совпадают по фазе (φ = φ_u – φ_io =0, cosφ =1). Общий ток в цепи равен току, проходящему через резистор:

(4.10)

Мощности цепи (рис. 4.1, а): активная

(4.11)

реактивная

(4.12)

полная

(4.13)

Комплексная полная мощность

(4.14)

где – сопряженный комплекс общего тока

Б. Цепь из двух параллельных ветвей Проводимости ветвей цепи (рис. 4.2, а):

– активная проводимость первой ветви;

– индуктивная проводимость первой ветви;

– активная проводимость второй ветви;

– емкостная проводимость второй ветви.

Рис. 4.2

Полная проводимость ветвей цепи

(4.15)

Комплексная полная проводимость ветвей цепи

(4.16)

Токи в ветвях и общий ток цепи:

(4.17)

где – активная составляющая тока I₁;

– индуктивная составляющая тока I₁;

– активная составляющая тока I₂;

– ёмкостная составляющая тока I₁;

В комплексной форме токи в ветвях и общий ток цепи:

(4.18)

Расчет электрической цепи при параллельном соединении ветвей можно выполнить и без предварительного определения активных и реактивных проводимостей, представляя элементы цепи в схеме замещения их активными и реактивными сопротивлениями.

Для цепи, изображенной на рис. 4.2, а, полное сопротивление ветвей определяется:

(4.19)

Токи в ветвях и общий ток цепи:

(4.20)

где ; ; ; .

Комплексные полные сопротивления:

(4.21)

Токи в ветвях и общий ток в цепи:

Векторная диаграмма токов и напряжения для цепи представлена на рис. 4.2, б.

Мощности цепи (рис. 4.2, а):

активная

(4.22)

реактивная

(4.23)

полная

(4.24)

Домашнее задание

Изучите основные теоретические положения, относящиеся к разветвленным цепям переменного тока, понятия о проводимостях парал­лельных ветвей в грамм токов. Принцип построения векторных диаграмм токов. Выпишите формулы расчета параметров, указанных в таблицах лабораторной работы. Запишите условия возникновения резонанса токов.

Порядок выполнения работы

1. Параллельное соединение резистора и катушки индуктивности 1.1. Соберите цепь по схеме рис. 4.3.

Рис. 4.3

1.2. Введите полностью реостат R₁. Установите заданное напряжение и в течение опыта поддерживайте постоянным это значение.

1.3. Изменяя сопротивление R₁, произведите три опыта. Показания приборов запишите в табл. 4.1.

1.4. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.1). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения.

1.5. Изменяя индуктивность катушки перемещением ее сердечника, произведите три опыта. Показания приборов занесите в табл. 4.1.

1.6. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.1). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения.

Таблица 4.1

№
Условие опыта	R1 – var	LK – var
Измерено	U	В
P	Вт
I	A
I1	A
I2	A
Вычислено	cosφ	–
Y	1/Ом
g	1/Ом
g1	1/Ом
gк	1/Ом
Yк	1/Ом
bLК	1/Ом
Lк	Гн
Iак	А
Iрк	А

2. Параллельное соединение резистора и конденсатора.

2.1. Соберите цепь по схеме рис. 4.4.

2.2. Введите полностью реостат R₁. Установите заданное напряжение и в течение опыта поддерживайте это напряжение постоянным. Изменяя сопротивление R₁, проведите три опыта, результаты которых занесите в табл. 4.2.

2.3. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.2). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения.

Рис.4.4

Таблица 4.2

№	Условие опыта	Измерено	Вычислено
U	P	I	I1	I2	cosφ	Y	g	вC	С
В	Вт	А	А	А	–	1/Ом	1/Ом	1/Ом	Ф,
	R1 – var
	C – var

2.4. Установите ток I₁ согласно значению, указанному в табл. 4.2. Изменяя емкость конденсаторов, проведите 3 опыта, результаты которых занесите в табл. 4.2.

2.5. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.1). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения.

3. Параллельное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

3.1. Соберите цепь по схеме (рис. 4.5).

Рис. 4.5
3.2. Введите полностью реостат R₁. Установите напряжение 100 В.

3.3. Установите емкость конденсаторов С = 0 (конденсаторы выключены). Проведите первый замер.

3.4. Постепенно включая конденсаторы, добейтесь минимального значения общего тока (резонанс токов). Проведите второй замер.

3.5. Установите максимальную емкость конденсаторов. Проведите третий замер. Результаты опытов занесите в табл. 4.3.

Таблица 4.3

№	1.	2.	3.
Условие опыта	bc < bL	bc = bL	bc > bL
Измерено	U	В
P	Вт
I	A
I1	A
I2	A
I3	A
Вычислено	cosφ	–
Y	1/Ом
g	1/Ом
b	1/Ом
g1	1/Ом
gк	1/Ом
Yк	1/Ом
bc	1/Ом
bLK	1/Ом
Iак	А
Iрк	А

Контрольные вопросы

1. Напишите уравнения электрического состояния для каждой схемы в комплексной форме.

2. Запишите комплексные значения полной проводимости каждой
цепи.

3. Переход от векторной диаграммы токов к треугольнику проводимостей и мощностей.

4. Влияние параметров параллельной цепи на cosφ.

5. Условия возникновения резонанса токов.

6. Электрические явления, возникающие при резонансе токов.

Литература:

[1, §2.13, 2.17, 2.19; 2, §2.15–2.17, 2.20,2.21; 3, §2.13–2.19].

Лабораторная работа №5

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХФАЗНЫХ ПРИЕМНИКОВ,

СОЕДИНЕННЫХ ПО СХЕМАМ ЗВЕЗДА И ТРЕУГОЛЬНИК