2015-08-13
1139
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні 
; на кожній замкнутій кривій на визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.
Нехай в точках поверхні , розташованої однозначно над площиною 
і заданою явно рівнянням 
, визначена обмежена функцією 
. Нехай 
є розбиття поверхні на скінченну кількість елементарних поверхонь 
, 
, 
— найбільший діаметр елементарних поверхонь, 
— довільна точка, вибрана на елементарній поверхні . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні визначає напрям обходу в площині , біля кордону проекції 
. Площа 
цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).
Число
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут 
множиться не на площу (елементарній поверхні а на взяту із знаком площа проекції поверхні на площину .
Якщо існує число 
з такою властивістю: для кожного 
знайдеться таке 
, що для кожного розбиття з 
, незалежно від вибору точок 
, завжди | 
, то називають поверхневим інтегралом 2-го роду від
за вибраною стороною і пишуть
Якщо не має взаємно однозначної проекції на площину , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.
Якщо має однозначну проекцію на площину 
або 
, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій на площину або .
Нарешті, для трьох функцій 
, 
, 
, визначених на , ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:
