Поверхневі інтеграли 2 роду

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні ; на кожній замкнутій кривій на визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні , розташованої однозначно над площиною і заданою явно рівнянням , визначена обмежена функцією . Нехай є розбиття поверхні на скінченну кількість елементарних поверхонь , , — найбільший діаметр елементарних поверхонь, — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні визначає напрям обходу в площині , біля кордону проекції . Площа цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут множиться не на площу (елементарній поверхні а на взяту із знаком площа проекції поверхні на площину .

Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке , що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , завжди | , то називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

за вибраною стороною і пишуть

Якщо не має взаємно однозначної проекції на площину , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо має однозначну проекцію на площину або , то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду