Скалярні та векторні поля. Похідна векторної функції

Скаля́рне по́ле — у векторному численні скалярна функція просторових координат. Скалярне поле ставить певне числове значення, дійсне або комплексне, у відповідність кожній точці простору.

Основною диференціальною операцією над скалярним полем у векторному численні є градієнт.

Скалярними полями описуються фізичні поля, які не залежать від орієнтації системи координат.

Означення. Якщо в кожній точці області V задана скалярна величина , то кажуть, що на множині V задане скалярне поле .

Означення. Поле називається стаціонарним, якщо функція не залежить від часу t, тобто .

Для наочного зображення скалярного поля використовують лінії рівня:

, тут h – крок, n =1,2…...

Ве́кторне по́ле — Означення. Якщо в кожній точці області V заданий вектор , то кажуть, що в області V задане векторне поле.

Векторне поле називається потенційним, або безвихровим, якщо для .

Векторне поле називається соленоїдальним, або трубчастим, якщо для .

Векторне поле називається гармонійним, якщо воно потенційне й соленоїдальне одночасно, тобто , .

Коли початковий простір — евклідовий (скінченновимірний векторний простір зі скалярним добутком), поняття векторного поля стає наочним, і тоді векторне поле інтерпретується як спосіб завдання рухів деякої динамічної системи: вектор у даній точці описує напрям і швидкість руху точки по фазовій кривій.

Якщо вибрати декартову систему координат, то поле може бути подане як:

Математичні операції над векторними полями вивчають у векторному аналізі.

Серед характеристик векторного поля відрізняють диференційні, що стосуються поведінки поля в окремих точках (дивергенція і ротор ), та інтегральні, що описують поле вздовж контура (циркуляція) або крізь певну поверхню (потік).

Диференційні й інтегральні характеристики векторного поля пов'язані між собою теоремами Гауса,Остроградського та Стокса.

Для поля механічного походження, дивергенція й потік характеризують наявність джерел і стоків у полі, а ротор і циркуляція — обертальну здатність поля.

Чимало фізичних явищ описують за допомогою векторних полів. Наведемо такі приклади:

· Електричне поле;

· Магнітне поле;

· Поле швидкостей потоку рідини чи газу в гідродинаміці.

Похідна вектор-функції:
Означення. Якщо існує границя , то вона називається похідною вектор-функції й позначається .