Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)

1. Нехай поверхня має явне представлення , причому змінюються в області . Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні , для якої кут між нормаллю і віссю є гострим, обчислюється так:

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

де задана рівнянням , — проекція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю гострий кут. Так само

де задана рівнянням , проекція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня задана в параметричній формі: , , , то

де

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області площини відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо