Криволінійний інтеграл ІІ роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму

,

де — проекція дуги M_i-1M_i на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.

Нехай — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо () і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (x_i;y_i), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають

або .

Таким чином, за означенням

.

Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:

,

де — проекція дуги M_i-1M_i на вісь Oy.

Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:

Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:

Застосовують в геометрії та механіці.