Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду

Нехай деяка функція визначена і обмежена на гладкій поверхні . Хай позначає деяке розбиття на скінченну кількість елементарних поверхонь (i = 1, 2 …. і) з площами , є найбільшим діаметром елементарних поверхонь і — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке , що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , то називається поверхневим інтегралом 1-го роду від по поверхні і записується

Для окремого випадку підінтегрального виразу

число дає площу поверхні .

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

, , ,

причому та пробігають область площини ,

Якщо поверхня задана явно рівнянням причому пробігають область , то

Аналогічні формули вірні, якщо представлена рівняннями виду чи