Показательные неравенства

Как мы помним, показательная функция возрастает при всех действительных значениях , если . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

следует неравенство

Аналогично, так как показательная функция убывает, если , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

следует неравенство

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Еще раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

Так как основание степеней , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

Корни числителя:

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: , ,

2. Решим неравенство:

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: ,