Математика

4 5 6 7 8 9 10

Тәуелсіз емтиханның ұзақтығы: 2 сағат

Тапсырма саны: 16

Тәуелсіз емтиханға қойылатын ең жоғары балл: 80

Тәуелсіз емтихан үш секциядан тұрады: «А», «В» және «С»

«А» секциясы бірнеше жауабы бар 10 сұрақтан тұрады, бұл секцияда ең көбі 10 балл жинауға болады.

«B» секциясы ашық түрдегі 9 сұрақтан тұрады, бұл секцияда ең көбі 68 балл жинауға болады.

«С» секциясы ашық түрдегі 1 сұрақтан тұрады, бұл секцияда ең көбі 22 балл жинауға болады.

Емтихан кезінде калькуляторды қолдануға рұқсат етіледі.

Математика бойынша тәуелсіз емтихан тапсырмасының үлгісі:

Барлық сұрақтар мысал ретінде берілген.

1-сұрақ

1. y = e ^{2 x} – 3 функциясының x = 0 нүктесіндегі жанамасының теңдеуін көрсетіңіз.

A y = x – 2

B y = x – 3

C y = x – 3

D y = 2 x – 2

E y = 2 x – 3

[1]

1-сұрақ	Жауап	Қосымша ақпарат	Балл
	D	Дұрыс жауап үшін ғана

2-сұрақ

2. –i + j және j + k векторларының арасындағы бұрышты табыңыз.

A 30°

B 45°

C 60°

D 75°

E 90°

[1]

2-сұрақ	Жауап	Қосымша ақпарат	Балл
	C	Дұрыс жауап үшін ғана

3-сұрақ

3. A, B және C нүктелерінің координаталары сәйкесінше (2, 5, 1), (3, 4, 1) және (-2, 3, 2).

(a) А, В және С нүктелері арқылы өтетін П жазықтығының теңдеуін құрыңыз.

Теңдеуді ax + by + cz = k түрінде жазыңыз, мұндағы a, b, c және k – бүтін сандар.

[3]

(b) O нүктесі – координата жүйесінің бас нүктесі. ОА түзуі мен  жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз

[4]

3-сұрақ	Жауап	Қосымша ақпарат	Балл
(a)	Жазықтықтың нормаль векторы және векторларына перпендикуляр, сондықтан ол × векторымен бағыттас. = i – jжәне = –5i – j+ k, бұдан нормаль вектор – i – j – 6kболады. Сөйтіп  жазықтығының теңдеуі x + y + 6 z = k түрде болады, ал теңдеуге A, B және C нүктелерінің кез келгенінің координаталарын қойсақ, k = 13 болады.	Жазықтықтағы екі векторды тапқаны үшін 1 балл. Векторлық көбейтіндіні тапқаны үшін 1 балл. Жазықтықтың теңдеуін тапқаны үшін 1 балл.
(b)	Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш және түзу мен нормаль вектордың арасындағы бұрыш құрайды. Түзу мен нормаль вектордың арасындағы бұрыш: arccos = arccos . Түзу мен нормаль вектордың арасындағы бұрыш 1,18-ге тең, бұдан түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш 0,40 болады.	Екі вектордың скаляр көбейтіндісін тапқаны үшін 1 балл. Әр вектордың ұзындығын тапқаны үшін 1 балл. Түзу мен нормаль вектордың арасындағы бұрышты тапқаны үшін 1 балл. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты тапқаны үшін 1 балл. Жауапты градуспен қабылдауға болады.

4-сұрақ

4. Конустың табаны – ауданы 20 см² болатын дөңгелек. Конустың төбесінен табанының ортасына дейінгі ара қашықтық 3 см-ге тең. Конустың табанына параллель жазықтық конусты көлемдері бірдей бөліктерге бөледі. Осы бөліктердің бүйір бетінің аудандарының қатынасы қандай?

[5]

4-сұрақ	Жауап	Қосымша ақпарат	Балл
	Екі бөліктің біреуі бастапқы конусқа ұқсас болғандықтан, оның биіктігі бастапқы конустың биіктігінің бөлігіне тең, ал оның бүйір бетінің ауданы бастапқы конустың бүйір бетінің ауданының бөлігіне тең. Бұдан конус бөліктерінің бүйір беттерінің қатынасы : (1 – ) немесе 1: ( – 1) немесе 1: ( – 1) болады.	Бастапқы конустың көлемін тапқаны үшін 1 балл. Конус бөлігінің биіктігін тапқаны үшін 1 балл. Конус бөлігінің бүйір бетінің ауданын тапқаны үшін 1 балл. Конустың екінші бөлігінің бүйір бетінің ауданын тапқаны үшін 1 балл. Соңғы нақты жауап үшін 1 балл .

5-сұрақ

5. Тік конустың табанының радиусы – r см және биіктігі – h см.

(а) Конусқа іштей сызылған ең үлкен шардың радиусын табыңыз, h және r арқылы өрнектеңіз.

[3]

(b) Шар көлемінің конус көлеміне қатынасы P = болатынын көрсетіңіз.

[3]

r -дің мәні тұрақты, ал h -тың мәні әр түрлі болуы мүмкін.

(c) h айнымалысына тәуелді Р -ның ең үлкен мәні -ге тең болатынын көрсетіңіз (P -ның тұрақты оң мәнін максимум деп қабылдауға болады).

[8]

Осы сұрақтың қалған бөлігінде P -ның мәні максимум болатындай h -тың мәні бекітіліп алынады.

(d) Шардың ең жоғарғы нүктесі конустың төбесі мен оның табанының центрін қосатын кесіндінің ортасында жататынын көрсетіңіз.

[2]

…………………………………………

(e) Толықтай конустың ішінде жататындай етіп, бірінші шардың жоғарғы жағына орналастыруға болатын ең үлкен шардың радиусын r арқылы өрнектеңіз.

[2]

(f) Осы процесті шексіз жалғастыра берсе, онда осы шарлардың көлемінің конус көлеміне қатынасы -ке ұмтылатынын көрсетіңіз.

………………………………………………….. [4]

5-сұрақ	Жауап	Қосымша ақпарат	Балл
(a)	Осьтік қимаға қараңыз: Үшбұрыштардың ұқсастығынан = аламыз, бұдан hr –rR = және R = .	Ұқсас үшбұрыштарды анықтағаны үшін 1 балл. Есепке сәйкес теңдеуді құрғаны үшін 1 балл. Теңдікті түрлендіруарқылы R -ді өрнектегені үшін 1 балл.

(b)	Конус көлемі  r ² h және шар көлемі  Шар көлемін конус көлемінің бөлігі ретінде қажетінше ықшамдалуы мүмкін.	Шар мен конустың көлемдерін тапқаны үшін 1 ұпай. Шар көлемін конус көлемінің бөлігі түрінде көрсеткені үшін 1 балл. Көлемді қажетті түрге келтіріп ықшам-дағаны үшін 1 балл.
(c)	P -ның тұрақты мәнінде = 0, бұдан 8 rh – 12 rh ³= 0 8 r ² h + 8 r ³ h + 8 rh ³ – 12 rh ³ = 0 Бізге тек r > 0 және h > 0 болатын жағдай қажет, сондықтан 2 r = h ² – 2 r ² h ⁴ – 8 h ² r ² = 0 h = 2 r болғанда ғана P тұрақты оң мәнге ие болады. h -тың осы мәнін орнына қойсақ, P = болатынын көреміз, дәлелдеу қажеті осы еді.	Бөлшектің туындысын табу формуласын дұрыс қолданғаны үшін 1 балл. күрделі функциясының туындысын табу формуласын қолданғаны үшін 1 балл. күрделі функциясының туындысын табу формуласын қолданғаны үшін 1 балл. P -ның толық туындысын тапқаны үшін 1 балл. Туындыны 0-ге теңестіргені үшін 1 ұпай. Теңдеудің барлық квадрат түбірлерінен құтылғаны үшін 1 балл. Теңдеуді шешкені үшін 1 балл. P = екенін дәлелдегені үшін 1 балл.
(d)	Шар радиусы -ге тең, сондықтан шардың ең жоғарғы нүктесі табан жазықтығынан биіктікте орналасқан, бұл – биітіктің жартысын құрайды.	Шар радиусын тапқаны үшін 1 балл. Биіктікпен салыстырғаны үшін 1 балл.
(e)	Конустың жоғарғы бөлігіне орналастырылатын ең үлкен шарды табу барлық ұзындықтарды екіге бөлу мәселесімен байланысты. Ал ең үлкен шардың радиусы -ге тең болады.	Ара қашықтықты 2-ге бөлгені үшін 1 балл. Шар радиусын ара қашықтықты екіге бөлу арқылы табуды негіздегені үшін және дұрыс мәнді көрсеткені үшін 1 балл.
(f)	Әр шардың көлемі алдыңғы шар көлемінің бөлігіне тең болады. Шарлардың көлемінің конус көлеміне қатынасы бірінші мүшесі -ге, еселігі -ге тең болатын геометриялық прогрессияны құрайды. Ал осы прогрессияның қосындысы -ке тең болады.	Шарлардың көлемдерінің арасындағы байланысты анықтайтын коэффициентті тапқаны үшін 1 балл. Геометриялық прогрессияны анықтағаны үшін 1 балл. Бірінші мүше мен еселікті көрсеткені үшін 1 балл. Шексіз кемімелі геометриялық прогрессия-ның қосындындысының формуласын қолданғаны үшін 1 балл.