Уравнения Максвелла

магнитные вектора, электрические вектора.

Стационарные поля – , т. е. не зависят от времени. В правой части уравнений Максвелла нет производных по времени или . Нестационарные (переменные) поля – т. е. зависят от времени. В правой части уравнений Максвелла есть указанные выше производные.

Если есть нестационарное магнитное поле, значит есть и нестационарное электрическое и наоборот. Если нет нестационарного магнитного поля, значит нет и нестационарного электрического и наоборот, так как они взаимосвязаны.

Есть два источника электрического поля: для стационарного – только неподвижные заряды, для нестационарного (переменного) – движущиеся заряды и нестационарное (переменное) магнитное поле.

Есть два источника магнитного поля: для стационарного – только постоянные токи проводимости, для нестационарного (переменного) – переменные токи проводимости и нестационарное (переменное) электрическое поле («токи» смещения).

Магнитное поле – всегда вихревое, так как . Электрическое поле может быть потенциальным, когда и вихревым, когда .

1. или ,

так как Ф_m магнитный потоки поэтому .

– источником вихревого электрического поля (слева вектор ) является нестационарное магнитное поле (справа производная по времени ),

– уравнение электромагнитной индукции Фарадея,

– теорема о циркуляции.

2. или или ,

так как векторплотности «тока» смещения, плотность тока проводимости,Ф_e электрический потоки поэтому .

– источником вихревого магнитного поля (слева вектор ) являются токи проводимости (справа ) и нестационарное электрическое поле (справа производная по времени ),

– теорема о циркуляции.

3. или илиФ_e = q,

так как свободныйэлектрическийзаряд; заряженное тело.

– источником потенциального электрического поля (слева вектор ) являются электрические заряды (справа ),

– теорема Остроградского – Гаусса для электрического поля в среде.

4. .

– отсутствие магнитных зарядов,

– теорема Остроградского – Гаусса для магнитного поля.

Любое скалярное произведение векторов имеет вид:

, , , .

Для простоты исключим нулевые решения и будем считать, что если в правой части уравнений Максвелла есть выражения, то они не равны нулю. Тогда возможны следующие варианты систем уравнений.

1. Нет в правой части и – следовательно, нет нестационарных полей, т. е. заряды неподвижны, а токи постоянны. В результате есть только стационарные электрические и магнитные поля. ().

, , , .

В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга.

2. Нет в правой части – следовательно, нет стационарного электрического поля, а есть нестационарное электрическое и в общем случае оба магнитных поля. В результате есть электромагнитное поле в отсутствии свободных зарядов или при наличии токов проводимости и в отсутствии (свободных) зарядов и заряженных тел.

, , , .

3. Нет в правой части () – следовательно, нет стационарного магнитного поля, а есть нестационарное магнитное и в общем случае оба электрических поля. В результате есть электромагнитное поле в отсутствии токов проводимости или при наличии (свободных) зарядов и заряженных тел и в отсутствии токов проводимости.

, , , .

4. Нет в правой части и () – следовательно, нет стационарных электрических и магнитных полей, а есть только нестационарные электрические и магнитные поля. В результате есть электромагнитное поле в отсутствие токов проводимости и (свободных) зарядов и заряженных тел, (частный случай – электромагнитные волны.)

, , , .

5. Нет в правой части , и – следовательно, нет электрических полей и нестационарных магнитных. В результате есть только стационарное магнитное поле ().

, , , .

6. Нет в правой части , и – следовательно, нет магнитных полей и нестационарных электрических. В результате есть только стационарное электрическое поле ().

, , , .

Следующая система уравнений:

справедлива для …

Тесты с решениями

1. Полная система уравнений

Максвелла для электромагнитного

поля в интегральной форме имеет вид:

– электромагнитного поля при наличии заряженных тел и в отсутствие токов проводимости, – электромагнитного поля в отсутствие заряженных тел и токов проводимости, – стационарных электрических и магнитных полей, – электромагнитного поля при наличии заряженных тел и токов проводимости.

Следующая система уравнений:

справедлива для …

2. Полная система уравнений

Максвелла для электромагнитного

поля в интегральной форме имеет вид:

– электромагнитного поля в отсутствие свободных зарядов и токов проводимости,

– электромагнитного поля в отсутствие свободных зарядов,

– электромагнитного поля в отсутствие токов проводимости,

– стационарных электрических и магнитных полей.

Следующая система уравнений:

справедлива для …

3. Полная система уравнений

Максвелла для электромагнитного

поля в интегральной форме имеет вид:

. – электромагнитного поля при наличии заряженных тел и в отсутствие токов проводимости, – электромагнитного поля в отсутствие заряженных тел и токов проводимости, – стационарных электрических и магнитных полей, – электромагнитного поля при наличии заряженных тел и токов проводимости.