2015-08-13
353
множество А × В всех упорядоченных пар элементов (a, b), из которых a принадлежит множеству A, b — множеству B.
A × B ≠ B × A, если B ≠ A.
Операции на множестве
Бинарной операцией на множестве х называется правило по которому любым двум элементам х,уϵХ ставится в соответствии некоторой однознач определ. эл-т из Х, обозначаемый х*у
(f: X*X→X).
Унарная операция – каждому элементу мн-ва Х ставится в соответствии некоторой однозначной определ.эл-т мн-ва Х. (f: X→X)
Нуль-арная операция – выделение какого-то эл-та мн-ва.
Операция * на мн-ве Х называется
1.ассоциативной, если для любых x,y,zϵX выполняется равенство: (х*у)*z=х*(у*z)
2.коммутативной, если для любых х,уϵХ выполняется р-во: х*у=у*
Полугруппа
Х - непустое мн-во х, заданное на нем ассоциативная операция * (Х,*_ называется полугруппой
Нейтральный элемент
e в мн-ве х называется нейтральным относительно операции *, если для любого хϵХ выполняется р-во: х*e=e*=x
выделение нейтрального эл-та в мн-ве – это нуль-арная операция на этом мн-ве.
|
|
|
× - e=1, + - e=0
Моноид
Полугруппа, в которой относительно операции * существует нейтральный эл-т называется моноидным.
(Z,◊) m,n,kϵZ m◊n=m+n-mn
1.ассоциативность (m◊n)◊k=m◊(n◊k)
(m+n-mn)◊k=m+n-mn+k-(m+n-mn)k=mn-mn+k-mk-nk+mnk
m◊(n+k-nk)=m+n+k-nk-m(n+k-nk)=m+n+k-nk-mm-mk+mnk верно
2.m◊0=m 0◊m=m m+0-m0=0+m-m0 – это моноид
Группа
Группой называется мн-во G с бинарной операцией, удовлетворяющей 3-м условиям:
1.операция ● ассоциативна
2.существует единичный эл-т e: ge=eg=g для любого gϵG
3.все эл-ты мн-ва G обратимы (т.е для любого G существует g-1:gg-1= g-1g=e
Группа называется абелевой, если операция ● коммутативна
Примеры группы
1. (Z,+,0) (R,+,0) – абелевы группы по сложению
2.GLn(R), ●) – не абелева группа (Ln-мн-во всех невырожденных матриц размера n×n)
3.SLn(R)={AϵGLn(R)/det A=1} (SLn(R), ●)- группа
4.({1,-1},●)-группа -1,1ϵZ
