Геометрическая интерпертация компл. 4исел

УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ.ДЕЛЕНИЕ.

Умножение комплексных чисел.

Определеие произведения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы числа a + b·i и a′ + b′·i можно было перемножать как алгебраические двухчлены, и чтобы число i обладало свойством i^2=−1. Произведение комплексных чисел a + b·i, и a′ + b′·i равно:

(a+bi)·(a′+b′i) = (a·a′−b·b′)+(a·b′+b·a′)i.

Деление комплексных чисел.

Устанавливается следующее определение. Разделить комплексное число a + b·i (делимое) на комплексное число a′ + b′·i (делитель) - значит найти такое число x + y·i (частное), которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно и частное единственно.

Частное комплексных чисел a + b·i, и a′ + b′·i вычисляется по формуле:

a+b·i/a′+b′·i = a·a′−b·b′/a′^2+b′^2 + (a′·b−b′·a)*i/a′^2+b′^2.

6)РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ .

Мнимая единица — комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.

В математике мнимая единица обозначается как латинская i или j. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа этого расширения.

Основной причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое уравнение f(x) = 0 с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Например, уравнение не имеет вещественных корней. Однако если предположить, что корнями являются комплексные числа, тогда это уравнение, как и любое другое уравнение, имеет решение.

Утверждение о том, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем корректно, т.к. −1 имеет два арифметических квадратных корня, один из которых можно обозначить как i, а другой как − i. Какой именно корень принимать за мнимую единицу — неважно, все математические равенства сохраняют свою силу при одновременной замене всех i на − i и − i на i.

Мнимая единица — число, квадрат которого равен −1. Таким образом i — это решение уравнения или

Если мы определим i таким образом и будем считать ее неизвестной («воображаемой», «мнимой») переменной, тогда вторым решением уравнения будет − i, что можно проверить подстановкой.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПЕРТАЦИЯ КОМПЛ. 4ИСЕЛ.