Метод симметризации

Симметризация — это такое геометрическое преобразование объёмного или плоского тела, которое позволяет привести его к виду, симметричному относительно некоторой плоскости (плоская симметризация) или оси (осевая симметризация). При плоской симметризации (рис.4.23, а) через каждую точку поверхности тела А проводят прямые перпендикулярные плоскости Р, откладывают на этих прямых симметрично относительно плоскости Р от­резки, равные длинам хорд, высекаемых на рассматриваемой прямой телом А (L₁, L₂, L₃,...).

Геометрическое место концов таких отрезков образует по­верхность нового тела А', симметричного относительно плоско­сти Р. Аналогично выполняется симметризация пластины относи­тельно прямой, лежащей в её плоскости.

Рис.4.23. Построение плоской и осевой симметризации

При осевой симметризации объёмного тела относительно оси 0 (на рис.4.23, б таким телом является параллелепипед) через тело А проводят плоскости (S₁, S₂, S₃,....), перпендикуляр­ные оси 0, и строят в каждой из них диск с центром на оси 0, рав­новеликий по площади сечению (s₀), которое высекает тело А на соответствующей плоскости S. Геометрическое место периметров таких окружностей образует новое тело А", симметричное относительно оси 0.

Свойства симметризации

1. При симметризации пластин относительно плоскости их площадь остаётся неизменной.

2. При любом виде симметризации объёмного тела его объём остаётся неизменным.

3. При бесконечном числе симметризаций любая пластина пе­реходит в диск той же площади.

4. При бесконечном числе симметризаций любое объёмное тело переходит в сферу того же объёма.

5. При любом виде симметризаций сопротивление растека­нию, по крайней мере, не уменьшается.

Поскольку любая пластина при бесконечном числе симметри­заций (различно ориентированных относительно её плоскостей) переходит в равновеликий диск, для её сопротивления растека­нию можно дать верхнюю оценку через её площадь S_пл, используя известное значение сопротивления дискового электрода, ра­диус которого , по формуле

(4.9)

Знак равенства в (4.9) достигается только в том случае, если исходная пластина имела форму диска.

Для сопротивления растеканию объёмного тела можно полу­чить верхнюю оценку через его объём V_T, используя известное выражение для сопротивления сферы того же объёма радиусом , а именно:

(4.10)

Знак равенства в (4.10) достигается только в том случае, если исходное тело имело форму сферы.

Пример 4.6. Оценим по методу симметризации сопротивление растекания электродов в форме квадратной пластины и куба. Из (4.9) получим, что для квадратной пластины со стороной а R₀γa < 0.2216, а для куба с ребром а из (4.10) получим R₀γa < 0.1283.

4.3.4. Метод средних потенциалов (метод Хоу)

Метод основан на замене электрода средой, имеющей ту же форму, что и рассматриваемый электрод, и ту же электропрово­димость, что и окружающая среда. При этом вместо неизвестного истинного распределения плотности тока на поверхности элек­трода задаётся некоторое фиктивное распределение сторонних точечных источников тока σ_ст (S). В случае тонких стержневых электродов, для которых можно пренебречь неравномерностью распределения плотности тока вдоль образующей их поперечного сечения, на их оси задаётся фиктивное линейное распределение сторонних точечных источников τ_ст (l). При этом в силу принципа непрерывности тока полный ток через поверхность, совпадающую с поверхностью электрода в зависимости от выбранного распре­деления сторонних источников тока, определяется как

Потенциал в произвольной точке р поверхности электрода оп­ределяется при этом из формул

Если выбранное распределение сторонних фиктивных точеч­ных источников приводит к распределению тока на поверхности электрода, отличному от истинного (равновесного), то поверх­ность рассматриваемого электрода оказывается неэквипотенциапьной. Чтобы избежать неоднозначности в выборе потенциала, на всей поверхности электрода принимается постоянное значе­ние, равное среднему арифметическому значений потенциала во всех точках поверхности тела S:

Для стержневых электродов в силу постоянства потенциала в каждом сечении вдоль образующей среднее значение потенциала определяется по формуле

где L' — линия, параллельная осевой линии стержневого элек­трода и принадлежащая его поверхности.

Сопротивление растеканию определяется по формуле

(4.11)

Поскольку сопротивление растеканию является интегральной характеристикой электрического поля, закон распределения сто­ронних фиктивных точечных источников тока мало влияет на точ­ность расчёта по формуле (4.11). Наиболее простая схема расчёта (предложенная в своё время Г. Хоу и носящая его имя) основа­на на задании равномерного распределения сторонних источни­ков по поверхности электрода <т_ст(5) = //5 или вдоль осевых линий стержневых электродов τ_ст (l) = I / L.

Тогда выражения для расчёта сопротивления растеканию электрода по методу Хоу принимает вид:

- для объёмных и пластинчатых электродов

(4 12)

- для стержневых электродов

(4.13)

Поскольку равновесное (истинное) распределение плотности тока на поверхности электрода соответствует минимуму энергии электрического поля, значение сопротивления растеканию, най­денное методом средних потенциалов (в частности, и методом Хоу), всегда больше истинного значения сопротивления, за ис­ключением тех случаев, когда выбранное фиктивное распределе­ние тока совпадает с истинным (в методе Хоу — для электрода сферической формы).

Например, верхняя оценка сопротивления для куба с ребром а по методу Хоу R₀γa < 0.1226.

При расчёте сопротивления растеканию между двумя элек­тродами средний потенциал каждого из них определяется с учё­том, что , a (где I — полный ток од­ного из электродов), по формулам

где S₁ и S₂ — поверхности электродов;

r₁₁, r₂₂ — расстояние ме­жду двумя произвольными точками поверхности одного и того же электрода;

r₁₂ = r₂₁ — расстояние между двумя произвольными точками, принадлежащими разным электродам.

Сопротивление растеканию определяется по формуле

или с учётом

имеем

(4.14)

Для сопротивления растеканию между двумя стержневыми электродами с длинами L₁ и L₂ аналогично получим:

(4.15)

Нетрудно видеть, что первое и третье слагаемые в (4.14) и (4.15) представляют собой сопротивления растеканию уединён­ных электродов R_10X и R_20X, вычисленных методом Хоу. Двойной интеграл во втором слагаемом в (4.14) и (4.15) при условии, что расстояние между электродами в несколько раз превышает их габаритные максимальные размеры, принимает вид 2S₁S₂ / r_ср (или 2L₁L₂ / r_ср), где r_ср — среднее расстояние между точками по­верхности электродов 1 и 2. Тогда формулы (4.14) и (4.15) запи­шутся так:

Другие вопросы применения метода средних потенциалов приведены в [9].

Пример 4.7. Сопротивление растеканию прямоугольной пла­стины размером а х b. В соответствии с обозначениями, показан­ными на рис. 4.24, двойной поверхностный интеграл, входящий в (4.12), будет

Рис. 4.24. К вычислению среднего потенциала

Окончательно для сопротивления растеканию прямоугольной пластины по методу Хоу получим

В частном случае квадратной пластины со стороной а

R_0X γ а = 0.2366.

Пример 4.8. Сопротивление растеканию вертикального стержневого электрода, заглублённого относительно границы раздела вода-воздух (рис. 4.25, а).

В соответствии с методом Хоу заменим стержневой электрод линейным распределением τ сторонних точечных источников тока (рис. 4.25, б), а границу раздела вода-воздух учтём зеркаль­ным отражением этих источников (рис.4.25, в).

Рис. 4.25. Стержневой уединённый электрод

Тогда формула (4.13) примет вид

При и формула упрощается: