Входное сопротивление неэквипотенциального электрода

Рассмотрим протяжённый цилиндрический электрод, длины l₀ с токовводом в точке с координатой х = 0 (рис. 4.28).

Рис. 4.28. Тонкий длинный электрод в однородной среде

Эквивалентную электрическую схему протяжённого электрода можно представить в виде длинной линии с утечкой (рис. 4.29). Вдоль электрода течёт ток I (x), убывающий вследствие утечки в окружающую среду по мере удаления от точки х = 0. Убывание тока на элементе dl, имеющего потенциал U, равно

где g = 1/r_y — проводимость утечки на единицу длины.

Рис. 4.29. Эквивалентная электрическая схема

Убывание потенциала на этом же элементе при токе I равно ‒dU = r₀Idl, где r₀ — сопротивление электрода на единицу длины.

Из этих двух уравнений находится уравнение для потенциала

Если обозначить , то общее решение имеет вид

где А и В — произвольные постоянные, определяемые из граничных условий.

При х = 0, U = U₀, тогда из уравнения для U (x) находим, что A = U₀. Из условия l (x = l₀) = 0 находим В = ‒U₀ . Тогда распределение потенциала и тока вдоль электрода описываются зависимостями вида

где входной ток

Отношение входного напряжения к входному току определяет входное сопротивление неэквипотенциального электрода

При входное сопротивление остается конечным:

Это является принципиальным отличием от модели эквипотенциального электрода, так как при условии сопротивление растекания электрода той же формы стремится к нулю.

Последнюю формулу можно представить в виде

где R_ε — сопротивление утечки эквипотенциального электрода (для однородной земли приближённо оценивается по формуле , а — сопротивление металла электрода с учётом которого имеем