Предположения для дробных возрастов

Мы рассмотрим 3 широко используемых в актуарной науке предположения, так называемых сплайнов. Они будут сформулированы в терминах функции дожития и в такой форме, которая позволяет показать природу интерполяции на интервале (x,x+1), вытекающую из каждого из этих предположений. В каждом утверждении x является целым и 0≤t≤1. Сформулируем предположения:

· Линейная интерполяция: . Это приводит к равномерному распределению или, точнее, к равномерному распределению моментов смерти внутри каждого годичного возрастного интервала. При этом предположении является линейной функцией.

· Показательная интерполяция, или линейная интерполяция для Это согласуется с предположением о постоянной интенсивности смертности внутри каждого годичного возрастного интервала. При этом предположении является показательной функцией.

· Гармоническая интерполяция: Это то, что называется предположением о гиперболичности (исторически, предположением ), поскольку в этом случае является гиперболической кривой.

предположение названо по имени Дж. Бальдуччи, итальянского актуария, который указал роль этого предположения в традиционном актуарном методе построения таблиц смертности.

Опираясь на эти основные определения, для остальных стандартных вероятностных функций можно вывести формулы в терминах вероятностей, указанных в табл. 1.

Вывод выражений, входящих в табл.1, является просто упражнением, заключающимся в подстановке сформулированных выше предположений о в соответствующие формулы. Мы продемонстрируем этот процесс для равномерного распределения смертей.

Для определения первого выражения в столбце, относящимся к равномерному распределению, начнем с соотношения

Для второго выражения воспользуемся формулой:

далее, подставляя соответствующие выражения для , получаем

Деление числителя и знаменателя в правой части на приводит к формуле

Третье выражение является частным случаем четвертого при рассматривая четвертое выражение, начнем с равенства

а затем, подставим соответствующее выражение для и , получим

Пятое выражение является дополнением первого, и последнее выражение в столбце, относящемся к равномерному распределению, является произведением второго и пятого выражений.

Таблица 1.

Вероятностные функции для дробных возрастов

Функция	Предположения
	Равномерное распределение	Постоянная интенсивность	Гиперболичность

, что в этой таблице целое, в первой, третьей, четвертой и пятой строках соотношения справедливы так же для и

Если, как и ранее, x является целым числом, то анализ можно провести, введя случайную величину S=S(x), такую, что T=K+S, где T является продолжительностью предстоящей жизни, K- пошаговой продолжительностью предстоящей жизни, а S – случайной величиной, представляющей прожитую дробную часть года, в котором наступила смерть. Поскольку K является неотрицательной целочисленной случайной величиной, а – случайной величиной непрерывного типа, вся масса которой сосредоточена на интервале (0,1), мы можем исследовать их совместное распределение, записав

Теперь, воспользовавшись выражением для в предположении равномерности распределения, как показано в табл.1, записав

Таким образом, совместное распределение с.в. K и S может быть разложено на произведение маргинальных распределений с.в. K и S. Поэтому в предположении равномерности распределения моментов смерти с.в K и S оказываются независимыми. Поскольку распределение является равномерным на (0,1), с.в. S имеет именно такое равномерное распределение.

Равномерное распределение смертей

В этом случае функция выживания интерполируется линейной функцией вида при Так как и известны (например, из ТПЖ), составляем уравнения:

и определяем неизвестные и (вычитаем из второго уравнения первое уравнение):

Отметим, что

Следовательно, на отрезке функция аппроксимируется линейным сплайном вида

. (2.1.1)

Отсюда для кривой смертей и интенсивности смертности получаем соответственно:

(2.1.2)

Таким образом,

С помощью ранее введенной величины равной вероятности того, что человек в возрасте лет умрет в течении ближайшего года, преобразуем формулу (2.1.2) к более удобному виду: