2015-08-12
451
Найдем среднее дробного возраста 
при условии, что смерть наступила в возрасте n лет:
Очевидно, что
Отсюда
подсчитаем теперь величину 
для всех трех предположений о характере смертности для дробных возрастов.
Равномерное распределение смертей
Ясно, что
Т.е. 
совпадает с серединой одногодичного временного промежутка, то интуитивно мы и ожидали получить.
Постоянная интенсивность смертности
В этом случае
Поскольку 
, а 
величина достаточно мала, то, воспользовавшись представлением
разложим 
в ряд по степеням 
после чего переходим к следующим оценкам для 
:
(2.3.1)
Докажем равенство (2.3.1). Так как
то, разложив функцию (отношение) двух переменных в ряд Тейлора в окрестности точки (
, 
), получаем
что и требовалось доказать.
Если 
не слишком мало, то имеет смысл учитывать и слагаемые порядка 
:
Постулат Балдуччи
Здесь
Дисперсию будем находить по следующей формуле:
Подсчитаем величину 
для всех трех постулатов смертности дробных возрастов.
Равномерное распределение смертей
Для этого постулата
Постоянная интенсивность смертности
Ранее мы получили, что
поэтому
после разложения отношения в ряд Тейлора в окрестности точки
имеем
Постулат Балдуччи
Здесь
Также на практике в некоторых случаях согласно полученным выше результатам, предположив независимость 
и 
, можно использовать следующие простые аппроксимации для среднего и дисперсии остаточного времени жизни:
