2015-08-21
3761
В случае произвольной глобальной системы координат значения узловых координат ограничены только границами области интегрирования. Было бы полезным упрощением, если бы значения этих координат были равны –1, 0, и +1. Этого можно достигнуть выбором локальной (местной) системы координат, привязанной к элементу так, чтобы координаты менялись линейно между нормированными узловыми координатами. Система координат такого типа называется системой естественных координат. Преимущество естественных координат в том, что интегрирование по элементу часто может быть проведено в стандартном аналитическом виде [1, 4, 6].
Естественные координаты могут быть, очевидно, одно- двух- и трехмерными.
В одномерном случае переход к естественной системе координат осуществляется трансляцией начала системы координат в начало отрезка 
. Тогда в системе 
имеем:
,
или, отнеся к длине отрезка:
Рис. 5.1
.
Точно так же, выбирая начало в точке 
, найдем: 
.
Из выражений для нормированных координат 
видно, что это полиномы Лагранжа:
; 
. (5.4.5)
Таким образом, в одномерном случае естественные координаты – это лагранжевы, или 
- координаты, обладающие, как было показано ранее, всеми свойствами базисных функций. Поэтому аппроксимирующую функцию элемента можно записать в естественной системе координат так:
,
поскольку 
и 
.
Преимущество веденных -координат в том, что интегрирование можно провести аналитически согласно формуле:
, (5.4.6)
где 
- длина элемента.
Нормированная координата площади в двумерном случае аналогична нормированной координате длины в одномерном. Для произвольно выбранной точки 
в трехузельном треугольном элементе такая координата определяется делением площади треугольника А1 (см. рис. 5.2) на площадь А всего треугольника: 
. Аналогично для остальных частей треугольника:
; и 
.
Рис. 5.2
Совмещая точку с каждым из узлов, видим, что в узлах -координаты равны 1, и равны 0 на сторонах, противоположных узлу, что и показано на рис. 5.2. Кроме того, очевидно выполнение равенства:
Отсюда следует, что из трех -координат независимыми являются только две любые из них, как и следовало ожидать для двумерного случая. Таким образом, введенные плоские -координаты удовлетворяют всем свойствам базисных функций элемента.
Найдем конкретное выражение для -координаты. Площадь 
треугольника с вершинами 
, 
и 
, как известно, равна:
.
Разделив на площадь 
треугольника, видим, что 
полностью совпадает с базисной функцией 
, симплекс-треугольника (см. (4.1.5)). Следовательно:
; 
; 
. (5.4.7)
Интегрирование с использованием плоских -координат осуществляется согласно формуле:
. (5.4.8)
В трехмерном случае естественными координатами служат, очевидно, отношения объемов, или объемные - координаты. Произвольно выбранной точкой 
тетраэдр делится на четыре подобъема. Тогда для объемной -координаты будем иметь:
.
Легко показать, что и в этом случае базисные функции равны -координатам:
; 
; 
; 
. (5.4.9)
Независимыми являются любые три из четырех объемных -координат.
Интегралы для получения стандартизованных матриц просто находить в объемных -координатах согласно формуле:
. (5.4.10)
Отметим, что в формулах интегрирования с помощью -координат (5.4.6), (5.4.8) и (5.4.10) в знаменателе стоит сумма показателей степени -координат плюс число, соответствующее размерности элемента. Это правило помогает легко запомнить формулы интегрирования.
Базисные функции элемента, или -координаты, можно использовать и для установления связи между декартовой и естественной системами координат:
x = x(ξ,η) = [Lm(ξ,η)]{X}; y = y(ξ,η) = [Lm(ξ,η)]{Y}, (5.4.11)
где {X} и {Y} – вектор-столбцы, элементами которых являются глобальные координаты (в декартовой системе) узлов элемента; индекс 
показывает, что базисные функции элемента использованы для преобразования координат. Например, радиус-вектор в цилиндрической системе координат можно на основании (5.4.11) представить следующим образом:
, (5.4.12)
где 
– радиальные координаты узлов симплекс-треугольника. Такая замена очень продуктивна при нахождении стандартизованных матриц элементов, стороны которых не совпадают с координатными линиями системы [1, 2].
При задании двух множеств узлов – одно для определения аппроксимирующей функции элемента, другое – для преобразования координат, возможны три случая:
• число узлов для определения формы элемента меньше числа узлов, использу-
емых при определении интерполяционной функции, это – субпараметрические
элементы:
• число узлов одинаковое – изопараметрические элементы;
• число узлов формы больше числа узлов полинома – это суперпараметрические
элементы.
Возможность задания двух независимых множеств узлов позволяет сочетать как интерполяционные полиномы высокого порядка с элементами простой геометрии, так и элементы сложной формы с простыми интерполяционными полиномами [2, 6].
