Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній збурювальній силі

Розглянемо лінійну систему з урахуванням опору під дією гармонійної збурювальної сили. Диференціальне рівняння руху в узагальнених координатах має вигляд

(3.1)

де для механічних систем, наприклад, , а для електричного контуру:

Загальний розв’язок рівняння (3.1) має вигляд

,

де при відомо (див. 2.3), а – якийсь частинний розв’язок рівняння (3.1). Будемо шукати його у вигляді

Стандартна процедура визначення постійних та дає

(3.2)

Таким чином, розв’язок рівняння (3.1) приймає вигляд:

(3.3)

де і визначаєються за початковими умовами.

При розв’язок (3.3) описує рух коливальної системи за відсутності опору.

Розглянуті коливання є складними і складаються з власних (перший доданок в (3.3)) і вимушених коливань (другий доданок). Власні коливання після закінчення часу практично згасають і система буде робити коливання за законом

Ці коливання і називаються вимушеними. Величина характеризує зсув фази вимушених коливань по відношенню до фази збурювальної сили.

Для дослідження отриманих результатів введемо позначення:

де – величина статичного «відхилення» системи під дією «сили» . Тоді з рівності (3.2) отримаємо

(3.4)

Рисунок 3.4 – Залежності коефіцієнта динамічності
від співвідношення частот

Величину називають коефіцієнтом динамічності системи. Залежність коефіцієнта динамічності від співвідношення частот показана на рис. 3.4 для різних значень

З (3.4) видно, якщо амплітуди вимушених коливань досягають максимуму. Таке явище називається резонансом. Максимуми кривих лише незначно зміщуються вліво від значення ; резонансне значення коефіцієнта динамічності часто називають добротністю системи.

Відзначимо, що однією з основних властивостей вимушених коливань є наступне: навіть при малій збурювальній силі можна отримати інтенсивне вимушене коливання, і навіть при великих значеннях збурювальної сили вимушені коливання можна зробити як завгодно малими.

Вимушені коливання і, зокрема, резонанс відіграють велику роль у багатьох галузях фізики і техніки: амортизуючі коливальні пристрої, реєструючі прилади, помножувачі частот і т.п.