Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням

а) Випадок механічної системи з нелінійно-в'язким тертям. Метод енергетичного балансу.

Диференціальне рівняння руху має вигляд

. (3.7)

Наближений розв’язок рівняння вимушених коливань можна знайти методом енергетичного балансу, суть якого полягає в заміні нелінійної сили еквівалентною в енергетичному відношенні лінійною силою . Коефіцієнт визначається з умови рівності робіт, що здійснюються обома силами за один період, тобто

. (3.8)

Більше того, наближено приймаємо, що усталений розв’язок (3.7) як і у випадку лінійного тертя, має вигляд

. (3.9)

Записуючи рівняння (3.8) для напівперіоду (оскільки швидкість не змінює знак), і підставляючи (3.9) в (3.8), знаходимо

, (3.10)

де .

Якщо взяти для сили тертя нелінійний закон виду

,

то (3.10) дає значення

, (3.11)

де – ейлеров інтеграл другого роду.

Звертаючись до відомого розв’язку лінійної задачі (див. 3.1) знаходимо рівняння для амплітуди

; (3.12)

тут . Задаючись тепер конкретним значенням нелінійності “ ”, “ ”, можна побудувати при різних сімейство резонансних кривих.

б) Контур з нелінійним загасанням. Метод гармонійного наближення.

Схема контуру представлена ​​на рис. 3.7.

Рисунок 3.7 ­­– Схема контуру з нелінійним загасанням

Нехай

.

Тоді рівняння, що описує поведінку контура, в безрозмірному вигляді прийме вигляд

, (3.13)

де , , , , , , . У гармонійному наближенні розв’язок шукаємо у вигляді

. (3.14)

З (3.13) отримуємо систему для визначення , ,

, (3.15)

(3.16)

(3.17)

де .

Перше рівняння (3.15) дає величину постійної напруги зміщення на ємності за рахунок несиметрії нелінійного опору. Рівняння (3.16) і (3.17) дозволяють знайти амплітуду вимушених коливань

або

. (3.18)

Задаючись параметрами впливу і , сімейство резонансних кривих отримуємо з (3.18).

Залишаючи питання побудови резонансних кривих на самостійне дослідження, зазначимо лише на вимогу обережності в передбачуваних висновках про вимушені коливання у нелінійних системах внаслідок прийнятих припущень, покладених в основу знайдених розв’язань.

Наприкінці даного розділу вкажемо ще на один метод (метод повільно мінливих амплітуд) аналізу поведінки слабонелінейних систем при гармонійному зовнішньому впливі. З основами методу читач може ознайомитися у відомих навчальних посібниках [1-4].

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 3

1. Яким чином можна знайти час встановлення коливань?

2. Час розгойдування системи більше за наявності або відсутності опору? Відповідь обгрунтуйте.

3. Чи залежить частота вимушених коливаннь від характерис-тик коливальної системи?

4. Отримайте розв’язок вимушених коливань системи без дисипації у разі резонансу.

5. Якою особливістю володіє залежність амплітуди вимушених коливань від частоти впливу, що збурює рух в нелінійних системах?