Аксиомы стереометрии, следствия из аксиом

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Аксиома 1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Аксиома 3.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Теорема 1.
Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2.
Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.
2. Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.
3. В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Параллельность прямой и плоскости

-----------------------------------------------------------------------------------------

Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Свойства и признаки

§ Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

§ Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

§ Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну

§ Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны

§ Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Параллельность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости