Функція. Область визначення та множина значень

Функцією називають залежність або відповідність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х із деякої множини відповідає значення змінної у із другої множини і лише одне.

Змінну х називають незалежною змінною, або аргументом, а змінну у – залежною змінною, або функцією.

Областю визначення функції називається множина всіх значень, які може набувати незалежна змінна х. З'ясуємо, як знайти область визначення деяких функцій, заданих формулою.

1. Якщо функція — многочлен, то вона існує при будь-яких значеннях аргумента, тобто її область визначення — всі дійсні числа.

2. Якщо функція задана формулою, яка містить аргумент у знаменнику дробу, то до області визначення функції входять всі дійсні числа, крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.

3. Якщо функція задана формулою, яка містить арифметичний квадратний корінь, то до області її визначення входять всі дійсні числа, при яких підкореневий вираз набуває невід'ємних значен

Областю значень функції називається множина всіх значень, які може набувати залежна змінна у, якщо х належить області визначення. Функція є парною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(x)=f(-x)

Функція є непарною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(-x)=-f(x)

Функцію можна задавати:

· аналітично (коли функція задається формулами);

· табличним способом – при цьому в таблиці надаються значення змінної х і відповідні їм значення у;

· описовим способом – коли функція задається словесним описом;

· графічно – коли функція задається її графіком.

Елементарні функції:

1. Пряма пропорційність ,

- число. Графік - пряма, що проходить через початок координат під кутом до осі абсцисс

2. Лінійна функція , , - числа. Графік - пряма, що перетинає вісь абсцис у точці

, ординат .

3. Обернена пропорційність

Графік гіпербола.

4. Квадратична функція , (), , - числа.

Графік парабола.

5. Степенева функція .

Якщо - натуральне і парне, то графік симетричний відносно осі OY; натуральне і непарне - відносно початку координат; від'ємне і непарне - гіпербола в 1 і 3-й координатних чвертях; від'ємне і парне - гіпербола в 1 і 4-й координатних чвертях.

30.Парність та непарність функцій. Властивості графіків парної та непарної функцій.
1) Нехай функція = і аргумент х змінюється від значення х1 до значення х2. Різницю між цими значеннями аргументу називають до значення. Різницю між цими значеннями аргументу називають приростом аргументу і позначають
.
При маємо

Різницю функцій, яка викликана зміною аргументу називається приростом функції і позначають
Означення 1
Якщо нескінчено ламану приросту аргументу в точці відповідає нескінчено малий приріст функції , то визначена в точці та її околі функція називається непарною в точці .
Означення 2
Функцію називають непарною в точці , якщо існує при та в деякому околі в точці .
2) Існує скінчена границя
3) Функція повинна дорівнювати функції
Незалежно від способу прямування , тобто лівостороння границя.