Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної

Знак першої похідної характеризує зростання і спадання функції. Знак другої похідної пов'язаний зі зростанням та спаданням першої похідної.

Якщо^' на (a; Ь) диференційована і зростає, то>>">0 на цьому ж інтервалі; якщо ж^'спадає на (а; Ь), тоу"<0 в кожній точці цього проміжку Перша похідна при пфеході через точку максимуму пфеходигь від додатніх значень до від'ємних, тобто спадає. Отже, її похідна повинна буги від'ємною.

Таким чином, в точці максимуму функції перша похідна рівна нулю, а друга похідна від'ємна.

Якщо в точці х — х. перша похідна функції дорівнює нупю if Тх„) =0), а друга похідна відмінна від нуля, TO Х — xQ - точка екстремуму

При цьому якщо друга похідна в цій точці додатня if '(х0)>0), то х — х0 - точка мінімуму якщо друга похідна в цій точці від'ємна (/"(х„)<0), то х — х„ - точка макс

Схема дослідження

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти першу похідну функції і точки, в яких вона перетворюється в нуль.

3. Знайти другу похідну фушсції і дослідиги її знак в кожній з кригичних точок.

4. Визначити точки екстремуму і обчислиги (якщо потрібно) значення функції.

Границя функції в точці. Основні теореми про границі.