Розклад вектора за базисом

Означення 8. Лінійно залежними називають вектори, якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

Означення 9. Лінійно незалежними називають вектори, якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі.

В системі векторів число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (7) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими. Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів.

Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням 8 звідси випливає, що вектори лінійно залежні.